Início » 3º ano do Ensino Médio » Matemática » Estudo dos Sólidos » Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão é igual a

Continua após a publicidade..

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão é igual a

Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão $x over h$ é igual a

A) $fraction numerator square root of 3 over denominator 6 end fraction$
B) $fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction$
C) $fraction numerator 2 square root of 3 over denominator 3 end fraction$
D) $square root of 3$
E) $fraction numerator 4 square root of 3 over denominator 3 end fraction$

Continua após a publicidade..

Resposta:

A alternativa correta é letra E

Para a resolução desta questão é necessário o conhecimento de volumes de sólidos.

Volume da semi-esfera:

V_{SE} = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} . π . r^{3}) = \frac{2}{3} . π . r^{3}

Volume do cone:

V_{C} = \frac{1}{3} . π . (2 r)^{2} . h = \frac{4}{3} . π . r^{2} . h

Volume do cilindro:

V_{Cl} = π . (x)^{2} . h = π . x^{2} . h

Como as três taças comportam a mesma quantidade de vinho, então:

V_{SE} = V_{C} = V_{Cl}

Definindo r em função de h:

\begin{array}{l} V_{SE} = V_{C} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} {πr}^{3} = \frac{4}{3} {πr}^{2} h \\ \Rightarrow r^{3} = 2 r^{2} h \\ \Rightarrow r^{2} (r - 2 h) = 0 \end{array}

Como

r \neq 0

, então:

\begin{array}{l} r - 2 h = 0 \\ \Rightarrow r = 2 h \end{array}

Para encontrar a razão

\frac{x}{h}

\begin{array}{l} V_{SE} = V_{Cl} \\ \Rightarrow \frac{2}{3} {πr}^{3} = {πx}^{2} h \\ \Rightarrow \frac{2}{3} π (2 h)^{3} = {πx}^{2} h \\ \Rightarrow x^{2} = \frac{16}{3} h^{2} \\ \Rightarrow \frac{x}{h} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \end{array}

Continua após a publicidade..

Resposta:

Deixe um comentário Cancelar resposta