Questões Sobre Escalas e Proporções - Matemática - Vestibular Tradicional

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1) Na teoria musical, o intervalo entre duas notas é medido pela razão entre suas frequências (medidas em Hz). Na escala pitagórica, os intervalos de um tom e de um semitom correspondem, respectivamente, às razões 9/8 e 256/243. A soma de intervalos corresponde ao produto das razões. Por exemplo, no intervalo de dois tons, a razão entre as frequências é de 9/8. 9/8 =81/64

Em um instrumento afinado de acordo com a escala pitagórica, se o intervalo entre uma nota de 220 Hz e outra de 990 Hz é composto por n tons e m semitons, a soma m + n é igual a:

A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

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A alternativa correta é letra C

O intervalo entre as frequências f₂ e f₁ é dado por:

990 over 220 equals 9 over 2 equals open parentheses 9 over 8 close parentheses to the power of n space. space open parentheses 256 over 243 close parentheses to the power of m3 squared over 2 to the power of 1 equals open parentheses 3 squared over 2 cubed close parentheses to the power of n space. space open parentheses 2 to the power of 8 over 3 to the power of 5 close parentheses to the power of m

3² . 2^–1 = 3²ⁿ . 2^–3n . 2^8m . 3^–5m

3². 2–1 = 3^{(2n – 5m)} . 2^{(–3n + 8m)}

Comparando as potências, temos:

open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 n space minus space 5 m equals 2 space space space space left parenthesis 1 right parenthesis end cell row cell 3 n space plus space 8 m space equals space minus 1 space space left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table close

Multiplicando ambos os membros da equação (1) por 1,5, temos:

open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 n space minus space 7 comma 5 m equals 3 space space space space left parenthesis 3 right parenthesis end cell row cell negative 3 n space plus space 8 m space equals space minus 1 space space left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table close

Somando-se as equações (3) e (2) membro a membro,
temos:
3n – 7,5m – 3n + 8m = 3 – 1
0,5m = 2
m=4

Substituindo-se o valor de m na equação (2), temos:
–3n + 8 (4) = – 1
–3n = –33
n=11

Portanto:
m + n = 4 + 11
m+n=15

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

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2) André e Bianca possuem automóveis que podem ser abastecidos com etanol, gasolina ou uma mistura dos dois combustíveis. Em um mesmo posto de combustível, André abasteceu seu carro com 18 litros da bomba de etanol e 32 litros da bomba de gasolina; já Bianca abasteceu seu carro com 30 litros da bomba de etanol e 20 litros da bomba de gasolina. Sabendo que o valor total pago por André foi 10% maior do que o pago por Bianca, a razão entre os preços, por litro, de etanol e de gasolina é:

A) 5/8
B) 2⁄3
C) 7⁄10
D) 3⁄4
E) 4⁄5

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A alternativa correta é letra B

Sendo a e g respectivamente, o preço do litro do etanol e do litro da gasolina, temos:

⇒ 18a + 32 . g = 33a + 22g ⇒ 15 . a = 10 . g

rightwards double arrow a over g space equals space 10 over 15 equals 2 over 3

Resposta pesquisada na internet: Fonte Objetivo

3) Um evento está sendo realizado em uma praia cuja faixa de areia tem cerca de 3 km de extensão e 100 m de largura. A ordem de grandeza do maior número possível de adultos que podem assistir a esse evento sentados na areia é de:

A) $10^{4}$ .
B) $10^{5}$ .
C) $10^{6}$ .
D) $10^{7}$ .

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A alternativa correta é letra C

A praia tem 100.3000=300 000 m² de área. Supondo que em cada metro quadrão cabem 4 pessoas temos 4.300000=1 200 000=1,2x10⁶.

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4) Hoje são fabricados veículos denominados flex, que podem ser abastecidos com gasolina e/ou álcool. O preço de um modelo flex é de 24464,00 reais e o preço do mesmo veículo convencional é de 22000,00. Considere que o consumo usando apenas álcool, no modelo flex, seja 30% maior que o consumo de gasolina no veículo convencional ou flex e que o preço do litro de álcool seja 50% menor que o preço do litro de gasolina. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que um taxista recupere o valor pago a mais no modelo flex, usando apenas álcool, se ele gasta 40 litros de gasolina todo dia, com preço de 2,00 reais o litro?

A) 65
B) 77
C) 88
D) 90
E) 115

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A alternativa correta é letra C

Para sabermos a economia diária devemos ver a diferença do preço vezes a quantidade em litros nos dois casos, logo:

\frac{P_{G}}{d i a} = 2.40 \frac{P_{G}}{d i a} = R $ 80, 00 \frac{P_{A}}{d i a} = (2.0, 5) . (40.1, 3) \frac{P_{A}}{d i a} = R $ 52, 00 \frac{D}{d i a} = \frac{P_{G}}{d i a} - \frac{P_{A}}{d i a} \frac{D}{d i a} = R $ 28, 00

Agora para sabermos quantos dias essa diferença paga a diferença dos valores devemos dividir a diferença de valores pela daria, tal que:

d i a s = \frac{C g - C a}{\frac{D}{d i a}} = \frac{24464 - 22000}{28} = 88

Alternativa correta é a Letra C

5) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?

A) 30%.
B) 36%.
C) 40%.
D) 45%.
E) 50%.

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A alternativa correta é letra B

Chamando a largura do retângulo hachurado de x, do enunciado, temos:

AD = 3/5.AB = 0,6.AB

x = 3/5.AD = 0,6.AD = 0,36.AB

Chamando agora a área hachurada de A₁ e a área total de A₂, temos:

A₁ = x.AD = 0,36.AB.0,6.AB = 0,216.AB²

A₂ = AD.AB = 0,6.AB.AB = 0,6.AB²

E assim, a razão entre as duas áreas vale:

A₁/A₂ = 0,216.AB²/(0,6.AB²) = 0,36 = 36%

Alternativa B.

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6) Na tabela a seguir, um determinado sanduíche é utilizado como padrão de comparação do poder de compra dos trabalhadores de seis cidades diferentes.

Na cidade de São Paulo, o menor número de minutos necessários para comprar um único sanduíche é representado por x.

(Adaptado de O Globo,17/08/2005)

Considere que a jornada de trabalho é a mesma em todas as cidades. O valor aproximado de x corresponde a:

A) 48
B) 46
C) 42
D) 40

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A alternativa correta é letra C

Analisando os valores da tabela vemos que são inversamente proporcionais(quando aumenta-se o tempo minimo para a compra de um sanduíche diminui o valor da quantidade máxima de sanduíches para o salário médio)
Logo podemos montar uma regra de três inversa dos seus valores com o de outra cidade, por exemplo, bueno aires, assim:

\frac{50}{x} = \frac{260}{220} x ≃ 42

Alternativa correta é a Letra C

7) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas numéricas com seis algarismos. Se a segurança for deﬁnida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou percentualmente a segurança na utilização dos cartões?

A) 10%
B) 90%
C) 100%
D) 900%
E) 1900%

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A alternativa correta é letra D

A quantidade de senhas com cinco algarismos é obtida pelo cálculo: 9x10x10x10x10=90 000

A quantidade de senhas com cinco algarismos é obtida pelo cálculo: 9x10x10x10x10x10=900 000

A quantidade aumentada é dado por:

900 000-90 000=810 000

Se era 90 000 e aumentou 810 000 para calcular a porcentagem basta utilizar regra de três:

\frac{90 000}{810 000} = \frac{100 %}{x} 90 000 x = 81 000 000 x = 900 %

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8) Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m2 maior, a área da quadra de simples é:

Considerando que a área da quadra de duplas é 66,64 m²maior, a área da quadra de simples é:

A) 89,00 m²
B) 106,64 m²
C) 168,00 m²
D) 196,00 m²
E) 226,58 m²

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A alternativa correta é letra D

Sendo o comprimento total das quadras dado por x e a largura da quadra simples dada por y, temos a área da quadra de simples dada por:

S₁= xy

Já a área da quadra de duplas será dada por:

S₂= x(0,34y+y) = xy + 66,34

Dessa forma temos:

1,34xy - xy = 66,64

Logo, xy = 196m². Alternativa correta é a D.

9) O paralelepípedo reto A, com dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm, é a reprodução em escala 1:10 do paralelepípedo B. Então, o volume do paralelepípedo B, em cm3, é

A) 85.
B) 850.
C) 8.500.
D) 85.000.
E) 850.000.

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A alternativa correta é letra D

Como está na escala 1:10 devemos multiplicar cada uma das dimensões por 10. Então tendo 85 cm, 25 cm e 40 cm, o volume será V = 85x25x40 = 85 000 cm³.

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10) O gráfico abaixo apresenta a receita semestral (em milhões de reais) de uma empresa em função do tempo em que I/2012 representa o 1º semestre de 2012, II/2012 representa o 2º semestre de 2012 e assim por diante.

Estima-se que
• a variação porcentual da receita de I/2014 em relação à de I/2013 seja igual à variação porcentual da receita de I/2013 em relação à de I/2012;
• a variação porcentual da receita de II/2014 em relação à de II/2013 seja igual à variação porcentual da receita de II/2013 em relação à de II/2012.
Nessas condições, pode-se afirmar que a receita total do ano de 2014, em milhões de reais, será de

A) 802,4.
B) 804,5.
C) 806,6.
D) 808,7.
E) 810,8.

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A alternativa correta é letra B

Queremos calcular a receita total do ano de 2014, portanto, para isso, calcularemos isoladamente a receita do primeiro semestre de 2014 para depois somarmos ao cálculo da receita referente ao segundo semestre de 2014.

Se a variação porcentual da receita de I/2014 em relação à de I/2013

(\frac{x_{1}}{220}, o n d e x_{1} r e p r e s e n t a a r e c e i t a d e I / 2014)

for igual à variação porcentual da receita de I/2013 em relação à de I/2012

(\frac{220}{200})

então

\frac{x_{1}}{220} = \frac{220}{200} \Leftrightarrow 200 x_{1} = 220 \cdot 220 \Leftrightarrow x_{1} = \frac{48400}{200} = 242

Se a variação porcentual da receita de II/2014 em relação à de II/2013

(\frac{x_{2}}{375}, o n d e x_{2} r e p r e s e n t a a r e c e i t a d e II / 2014)

for igual à variação porcentual da receita de II/2013 em relação à de II/2012

(\frac{375}{250})

então

\frac{x_{2}}{375} = \frac{375}{250} \Leftrightarrow 250 x_{2} = 375 \cdot 375 \Leftrightarrow x_{2} = \frac{140625}{250} = 562, 5

Portanto x₁+x2=242+562,5=804,5. Alternativa B.

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