Considere a condução de calor estacionária e unidimensional em uma esfera combustível com raio Rfo, condutividade térmica constante kf e taxa volumétrica de geração e calor q”’ uniforme.

A alternativa correta é letra A) T_f(r) = T_{fo} + {large{q^{'''}R_{fo}^2 over 6k_f}} (1 - Bigl ( {large{r over R_{fo}}} Bigr )^2)

Gabarito: LETRA A.

A equação simplificada para a condução de calor estacionária e unidimensional em uma esfera combustível com raio R_{fo}, condutividade térmica constante k_f e taxa volumétrica de geração de calor q^{'''} uniforme é dada por:

dfrac { 1 }{ r^2 } dfrac { d } { dr } left( k_f , , r^2 , , dfrac { dT } { dr } right) + q^{'''} = 0

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dfrac { d } { dr } left( k_f , , r^2 , , dfrac { dT } { dr } right) = - q^{'''} , , r^2

Vamos integrar essa equação diferencial para encontrar a distribuição de temperatura:

displaystyle{ int d left( k_f , , r^2 , , dfrac { dT } { dr } right) = - int q^{'''} , , r^2 , dr }

displaystyle{ k_f , , r^2 , , dfrac { dT } { dr } = - q^{'''} int r^2 , dr }

k_f , , dfrac { dT } { dr } , , r^2 = - q^{'''} dfrac { r^3 } 3

dfrac { dT } { dr } = - dfrac { q^{'''} } { 3 k_f } r

Integrando pela segunda vez, temos:

displaystyle{ int dT = int left( - dfrac { q^{'''} }{ 3 k_f } r right) dr }

displaystyle{ T_f (r) = - dfrac { q^{'''} }{ 3 k_f } int r , dr }

T_f (r) = - dfrac { q^{'''} }{ 3 k_f } dfrac { r^2 } 2 + C

T_f (r) = - dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } r^2 + C tag 1

A constante de integração C pode ser encontrada através das condições de contorno do problema. De acordo com o enunciado, temos que T_f ( R_{fo} ) = T_{fo}. Substituindo essa condição na equação (1), temos:

T_f ( R_{fo} ) = - dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } { R_{fo} }^2 + C = T_{fo}

C = T_{fo} + dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } { R_{fo} }^2

Substituindo C na equação (1), temos:

T_f (r) = - dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } r^2 + T_{fo} + dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } { R_{fo} }^2

T_f (r) = T_{fo} + dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } { R_{fo} }^2 - dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } r^2

T_f (r) = T_{fo} + dfrac { q^{'''} }{ 6 k_f } left( { R_{fo} }^2 - r^2 right)

T_f (r) = T_{fo} + dfrac { q^{'''} , { R_{fo} }^2 }{ 6 k_f } left( 1 - dfrac { r^2 }{ { R_{fo} }^2 } right)

T_f (r) = T_{fo} + dfrac { q^{'''} , { R_{fo} }^2 }{ 6 k_f } left( 1 - left( dfrac { r }{ R_{fo} } right)^2 right)

Portanto, a resposta correta é a alternativa (a).