Texto e figura para o item

A alternativa correta é letra A) Certo

 

Nesta questão a resposta indicada pelo professor não está de acordo com a banca, por esse motivo logo após a resolução é feita uma análise dimensional da expressão indicada no enunciado para constatar se existe uma homogeneidade dimensional.

 

Inicialmente, utilizando a expressão da quantidade de calor sensível, vamos encontrar uma expressão para a variação de temperatura:

 

Q=M cdot c_a cdot Delta T

 

fbox{ $ Delta T = dfrac{Q}{M cdot c_a} $ }

 

Portanto a variação de temperatura do carrinho está relacionado a quantidade de energia recebida de acordo com a expressão acima. A fonte desta energia térmica (Q) fornecida ao carrinho será o trabalho (tau) da força de atrito sobre o carrinho. Calculando o trabalho da força de atrito, temos:

 

tau = F_{at}cdot D cdot cos alpha

 

onde alpha é o ângulo entre a força e o deslocamento. Como a força de atrito é contrária ao deslocamento, o ângulo alpha é igual a 180º, logo:

 

tau = F_{at}cdot D cdot cos 180^º ;; implies ;; fbox{ $ tau = - F_{at}cdot D $ }

 

Agora é necessário encontrar a força de atrito para substituir na expressão acima. Escrevendo a expressão da força de atrito, temos:

 

F_{at}=mu_a cdot F_N

 

Como temos um plano inclinado, a força normal (F_N) exercida pelo plano sobre o carrinho, é representada pela expressão:

 

F_N=M cdot g cdot cos theta

 

Substituindo a expressão acima na expressão da F_{at} , temos:

 

begin{aligned} F_{at}&=mu_a cdot F_N \ \ F_{at}&=mu_a cdot M cdot g cdot cos theta end{aligned}

 

Agora substituindo toda essa expressão na expressão do trabalho (tau) temos:

 

begin{aligned} tau&=-F_{at} cdot D \ \ tau &= - mu_a cdot M cdot g cdot cos theta cdot D end{aligned}

 

O sinal negativo do trabalho indica que ele é contrário ao movimento, diminuindo a velocidade do carrinho. Para substituir na expressão da variação de temperatura (Delta T) , iremos utilizar o módulo do trabalho (tau) já que esta energia é fornecida ao carrinho, e estará aumentando a sua temperatura.

 

Q=|tau|

 

Delta T = dfrac{Q}{M cdot c_a}= dfrac{mu_a cdot M cdot g cdot cos theta cdot D }{M cdot c_a}

 

Delta T = dfrac{mu_a cdot cancel{M} cdot g cdot cos theta cdot D }{cancel{M}cdot c_a}

 

color{blue}{ fbox { $ Delta T = dfrac{mu_a cdot g cdot cos theta cdot D }{c_a} $ }}

 

Esta é a expressão correta para a variação de temperatura sofrida pelo carrinho, diferente da expressa no enunciado. Portanto o item está errado.

 

GABARITO INDICADO PELO PROFESSOR: ERRADO

GABARITO DA BANCA: CERTO

  

Análise Dimensional

 

Vamos efetuar a análise dimensional da equação apresentada pelo enunciado:

 

Delta T=dfrac{M cdot g cdot mu_a cdot cos theta}{c_a}

 

Para isso vamos relacionar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas na expressão anterior:

 

• text{Temperatura: } theta
• text{Massa: } M
• text{Comprimento: } L
• text {Tempo: } T
• text{Aceleração da gravidade: } [g]=dfrac{[Delta V]}{[Delta t]}=dfrac{{L}/{T}}{T}=dfrac{L}{T^2}=Lcdot T^{-2}

 

• text{Calor específico: }[c_a]=dfrac{[Q]}{[M] cdot [Delta T]}

 

Para encontrarmos a equação dimensional do calor específico precisamos inicialmente encontrar a equação dimensional da grandeza [Q]. Devemos lembrar que essa grandeza é uma energia e sua unidade pode ser calorias ou, no SI, o Joule. Para encontrarmos a expressão dimensional do Joule, podemos utilizar a fórmula do trabalho:

 

tau=F cdot D cdot cos alpha

 

Sabendo que:

 

F=M cdot a

 

tau=M cdot a cdot D cdot cos alpha

 

[tau]=[M] cdot [a] cdot [D] cdot cancel{cos alpha}

 

O termo do cosseno foi cancelado pois é adimensional. Como (a) é aceleração, podemos utilizar a expressão encontrada para a aceleração da gravidade (g), o termo (D) possui unidade de comprimento. Substituindo:

 

[tau]=M cdot Lcdot T^{-2} cdot L= M cdot L^2 cdot T^{-2}

 

Como o trabalho (tau) possui a mesma unidade que a quantidade de calor (Q), podemos igualar suas expressões dimensionais:

 

[Q]=[tau] \ \ \ \ [Q]= M cdot L^2 cdot T^{-2}

 

Retornando à expressão do calor específico:

 

[c_a]=dfrac{[Q]}{[M] cdot [Delta T]}=dfrac{ M cdot L^2 cdot T^{-2}}{M cdot theta}=dfrac{ cancel{M} cdot L^2 cdot T^{-2}}{cancel{M} cdot theta}

 

fbox{ $ [c_a]= L^2 cdot T^{-2} cdot theta^{-1} $ }

 

Agora com todos os termos expressos em suas dimensões, podemos substituir na expressão da temperatura fornecida no enunciado:

 

Delta T = dfrac{M⋅g⋅mu_a ⋅cos θ}{c_a}

 

[Delta T] = dfrac{[M] cdot [g] cdot cancel{mu_a cdot costheta} }{[c_a]}

 

Os termos do coeficiente de atrito e o cosseno foram cancelados pois são adimensionais. Substituindo as expressões encontradas de (g) e (C_a) , temos:

 

[Delta T] = dfrac{M cdot Lcdot T^{-2}}{ L^2 cdot T^{-2} cdot theta^{-1}}= dfrac{M cdot bcancel{L}cdot cancel{T^{-2}}}{ L^bcancel{2} cdot cancel{T^{-2}} cdot theta^{-1}}= dfrac{M}{ L cdot theta^{-1}} ;; implies

 

color{red}{fbox { $ [Delta T] =M cdot L^{-1}cdot theta $ }}

 

O correto seria essa expressão nos fornecer uma unidade de temperatura, no caso color{blue}{fbox{ $ [Delta T]=theta $ }} , e não é isso que ocorre. Portanto a equação apresentada no enunciado não fornece uma resposta com unidade correta de temperatura, o que torna o item errado.