Um relógio de pêndulo, construído de um material de coeficiente de dilatação linear alpha, foi calibrado a uma temperatura de 0ºC para marcar um segundo exato ao pé de uma torre de altura h. Elevando-se o relógio até o alto da torre observa-se um certo atraso, mesmo mantendo-se a temperatura constante. Considerando R o raio da Terra, L o comprimento do pêndulo a 0ºC e que o relógio permaneça ao pé da torre, então a temperatura para a qual obtém-se o mesmo atraso é dada pela relação:
- A) large {2h over alpha R}
- B) large {h(2R+h) over alpha R^2}
- C) large {(R+h)^2-LR over alpha ,L,R}
- D) large {R(2h+R) over alpha(R+h)^2}
- E) large {2,R+h over alpha,R}
Resposta:
A resposta correta é a letra B) large frac{h(2R+h)}{alpha R^2}.
Para explicar essa resposta, vamos analisar o problema. Temos um relógio de pêndulo construído de um material de coeficiente de dilatação linear α, que foi calibrado a uma temperatura de 0°C para marcar um segundo exato ao pé de uma torre de altura h. Quando elevamos o relógio até o alto da torre, observamos um certo atraso, mesmo mantendo-se a temperatura constante.
Isso ocorre porque a variação de temperatura afeta a dilatação do material do pêndulo, o que altera seu comprimento. Como a temperatura é constante, a variação de comprimento do pêndulo é devida à variação de altitude. Quanto maior a altitude, menor a intensidade do campo gravitacional, o que faz com que o pêndulo se alongue.
Para calcular essa variação de comprimento, podemos usar a fórmula da dilatação linear: ΔL = α * L * ΔT, onde ΔL é a variação de comprimento, α é o coeficiente de dilatação linear, L é o comprimento do pêndulo a 0°C e ΔT é a variação de temperatura. Como a temperatura é constante, ΔT = 0, então ΔL = 0.
Então, como a variação de comprimento do pêndulo é devida à variação de altitude, podemos usar a fórmula da dilatação linear em função da altitude: ΔL = α * L * (h/R), onde R é o raio da Terra. Como queremos calcular a temperatura para a qual obtemos o mesmo atraso, podemos igualar essa expressão à variação de comprimento causada pela variação de temperatura: α * L * (h/R) = α * L * ΔT.
Agora, podemos isolrar ΔT: ΔT = (h/R). Substituindo essa expressão na fórmula da dilatação linear, obtemos: ΔL = α * L * (h/R) = α * L * ΔT.
Então, a temperatura para a qual obtemos o mesmo atraso é dada por: T = ΔT = (h/R). Substituindo essa expressão na fórmula do pêndulo, obtemos: T = (h(2R+h)/(alpha R^2)), que é a alternativa B) large frac{h(2R+h)}{alpha R^2}.
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