Durante um processo termodinâmico de expansão em um gás, observa-se que TV^2 = constante, onde T é a temperatura, e V é o volume do gás. O trabalho realizado na expansão entre V_0 e 2V_0 é W_1, e o trabalho realizado na expansão entre 2V_0 e 3V_0 é W_2.

A alternativa correta é letra E) 5/27

O trabalho realizado por um gás é dado pela equação:

 

W = displaystyle int p dV

 

Como a relação pV = nRT é válida, temos p = dfrac {nRT}{V}. Logo,

 

W = displaystyle int dfrac {nRT}{V} dV

  

Durante o processo, observa-se que TV^2 = c. Assim, podemos escrever:

 

TV^2 = c

 

dfrac {TV^2}{V^3} = dfrac {c}{V^3}

 

dfrac {T}{V} = dfrac {c}{V^3}

 

Então, temos:

 

W = displaystyle int nR dfrac {T}{V} dV

 

W = displaystyle int nR dfrac {c}{V^3} dV

 

W = displaystyle nRc int dfrac {1}{V^3} dV

 

Assim, temos:

 

W_1 = displaystyle nRc int_{V_0}^{2V_0} dfrac {1}{V^3} dV

 

W_1 = nRc left[ dfrac {V^{-2}}{-2} right]_{V_0}^{2V_0}

 

W_1 = -dfrac {1}{2} nRc left[ dfrac {1}{V^2} right]_{V_0}^{2V_0}

 

W_1 = -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {1}{(2V_0)^2} - dfrac {1}{(V_0)^2}right)

 

W_1 = -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {1}{4 {V_0}^2} - dfrac {1}{{V_0}^2}right)

 

W_1 = -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {-3}{4 {V_0}^2}right)

 

W_1 = dfrac {3}{8} nRc dfrac {1}{ {V_0}^2}

 

De maneira análoga, podemos encontrar W_2:

 

W_2 = displaystyle nRc int_{2V_0}^{3V_0} dfrac {1}{V^3} dV

 

W_2 = displaystyle nRc left[ dfrac {V^{-2}}{-2} right]_{2V_0}^{3V_0}

 

W_2 = displaystyle -dfrac {1}{2} nRc left[ dfrac {1}{V^2} right]_{2V_0}^{3V_0}

 

W_2 = displaystyle -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {1}{(3V_0)^2} - dfrac {1}{(2V_0)^2}right)

 

W_2 = displaystyle -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {1}{9 {V_0}^2} - dfrac {1}{{ 4V_0}^2}right)

 

W_2 = displaystyle -dfrac {1}{2} nRc left( dfrac {-5}{36 {V_0}^2}right)

 

W_2 = displaystyle dfrac {5}{72} nRc dfrac {1}{ {V_0}^2}

 

Assim, podemos escrever a razão:

 

dfrac {W_2}{W_1}= dfrac {dfrac {5}{72} nRc dfrac {1}{ {V_0}^2}}{ dfrac {3}{8} nRc dfrac {1}{ {V_0}^2}}

 

dfrac {W_2}{W_1}= dfrac {5}{72} cdot dfrac {8}{3}

 

dfrac {W_2}{W_1}= dfrac {5}{27}

 

Portanto, a resposta correta é a alternativa (E),