Numa expansão muito lenta, o trabalho efetuado por um gás num processo adiabático é
W_{12}={ large {P_1V^γ_1 over 1-γ}} (V^{1- γ}_2-V^{1-γ}_1),
em que P, V, T são, respectivamente, a pressão, o volume e a temperatura do gás, e γ uma constante, sendo os subscritos 1 e 2 representativos, respectivamente, do estado inicial e final do sistema. Lembrando que PV^γ é constante no processo adiabático, esta fórmula pode ser reescrita deste modo:
- A) { large { P_1left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_2/T_1)/In(V_1/V_2)}}
- B) { large { P_2left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_2/T_1)/In(V_2/V_1)}}
- C) { large { P_2left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_2/T_1)/In(V_1/V_2)}}
- D) { large { P_1left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_2/T_1)/In(V_2/V_1)}}
- E) { large { P_2left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_1/T_2)/In(V_2/V_1)}}
Resposta:
A alternativa correta é letra A) { large { P_1left[V_1-V_2(T_2/T_1)^{γ/(γ-1)}right] over In(T_2/T_1)/In(V_1/V_2)}}
De acordo com a primeira lei da termodinâmica, temos:
Delta U = Q - W
Em uma transformação adiabática, temos que Q = 0. Então,
Delta U = 0 - W
W = - Delta U
Entretanto, podemos escrever Delta U = n C_V Delta T. Logo,
W = - C_V (T_2 - T_1)
W = C_V ( T_1 - T_2 )
W = C_V ( dfrac { P_1 V_1 } { nR } - dfrac { P_2 V_2 } { nR } )
W = dfrac { C_V } { nR } ( P_1V_1 - P_2 V_2 )
Mas, nR = C_P - C_V. Então,
W = dfrac { C_V } { C_P - C_V } ( P_1V_1 - P_2 V_2 )
W = dfrac { C_V } { C_P - C_V } P_1 ( V_1 - dfrac { P_2 V_2 } { P_1 } )
W = dfrac { dfrac { C_V } { C_V } } { dfrac { C_P - C_V } { C_V } } P_1 ( V_1 - dfrac { P_2 V_2 } { P_1 } )
W = dfrac { 1 } { dfrac { C_P } { C_V } - dfrac { C_V } { C_V }} P_1 ( V_1 - dfrac { P_2 V_2 } { P_1 } )
Como gamma = dfrac {C_P}{C_V}, temos:
W = dfrac { P_1 } { gamma - 1 } ( V_1 - V_2 cdot dfrac { P_2 } { P_1 } ) textbf{(I)}
Como PV = nRT, temos:
P = dfrac {nRT}{V}
Do enunciado, temos que PV^gamma = mathrm{constante}. Logo,
P_1 {V_1}^{gamma} = P_2 {V_2}^{gamma}
dfrac { P_2 } { P_1 } = left( dfrac {V_1} {V_2} right)^{gamma}
dfrac { P_2 } { P_1 } = left( dfrac { dfrac { cancel n cancel RT_1 } { P_1 } } { dfrac { cancel n cancel RT_2 } { P_2 } } right)^{gamma}
dfrac { P_2 } { P_1 } = left( dfrac { P_2 } { P_1 } right)^{gamma} left( dfrac { T_1 } { T_2 } right)^{gamma}
left( dfrac { P_2 } { P_1 } right)^{1 - gamma} = left( dfrac { T_1 } { T_2 } right)^{gamma}
left( dfrac { P_2 } { P_1 } right)^{gamma - 1} = left( dfrac { T_2 } { T_1 } right)^{gamma}
dfrac { P_2 } { P_1} = left( dfrac { T_2 } { T_1 } right)^{dfrac { gamma } { gamma - 1 } } textbf{(II)}
Novamente, de PV^gamma = mathrm{constante}, temos:
P_1 {V_1}^{gamma} = P_2 {V_2}^{gamma}
dfrac {cancel {nR}T_1}{V_1} {V_1}^gamma = dfrac {cancel {nR}T_1}{V_1} {V_2}^gamma
T_1 {V_1}^{gamma -1}= T_2 {V_2}^{gamma -1}
dfrac { T_1 } { T_2 } = left( dfrac { V_2 } { V_1 } right)^{gamma -1}
Logo,
ln left( dfrac { T_1 } { T_2 } right) = ln left[ left( dfrac { V_2 } { V_1 } right)^{gamma -1} right]
ln left( dfrac { T_1 } { T_2 } right) = left( {gamma -1} right) ln left( dfrac { V_2 } { V_1 } right)
left( {gamma -1} right) = dfrac { ln left( dfrac { T_1 } { T_2 } right) } { ln left( dfrac { V_2 } { V_1 } right) } textbf{(III)}
Substituindo-se textbf{(II)}e textbf{(III)} em textbf{(I)}, temos:
W = dfrac { P_1 } { dfrac { ln left( dfrac { T_1 } { T_2 } right) } { ln left( dfrac { V_2 } { V_1 } right) } } ( V_1 - V_2 cdot left( dfrac { T_2 } { T_1 } right)^{dfrac { gamma } { gamma - 1 } } )
W = dfrac { P_1 left[ V_1 - V_2 left( T_2 / T_1 right)^{ gamma / gamma - 1 } right] } { ln left( T_1 / T_2 right) / ln left( V_2 / V_1 right) }
Portanto, a resposta correta é a alternativa (D).
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