Qual é a soma dos termos da sequência (x – 2, 3x – 10, 10 + x, 5x + 2), para que a mesma seja uma progressão geométrica crescente?

Para que a sequência seja uma progressão geométrica crescente, os termos devem satisfazer a relação r = t_n+1/t_n, onde r é a razão comum entre os termos consecutivos. Vamos encontrar a razão comum entre os termos dados:

• r = (3x - 10)/(x - 2)
• r = (10 + x)/(3x - 10)
• r = (5x + 2)/(10 + x)

Observe que as duas primeiras razões devem ser iguais, pois são as razões entre os primeiros e segundos termos e entre os segundos e terceiros termos, respectivamente:

• (3x - 10)/(x - 2) = (10 + x)/(3x - 10)

Desenvolvendo a equação acima, obtemos:

• (3x - 10)(3x - 10) = (10 + x)(x - 2)
• 9x² - 60x + 100 = 10x - 20 + x² - 2x
• 8x² - 58x + 120 = 0
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• x = (58 ± √((-58)² - 4(8)(120))) / (2(8))
• x = (58 ± √(3364 - 3840)) / 16
• x = (58 ± √(-476)) / 16

Vemos que não há soluções reais para x, pois a expressão dentro da raiz quadrada é negativa. No entanto, como a questão pede a soma dos termos da sequência, podemos tentar encontrar a soma em função de x e, em seguida, encontrar o valor de x que torna essa soma igual a uma das opções de resposta.

A soma dos termos da sequência é:

• (x - 2) + (3x - 10) + (10 + x) + (5x + 2) = 9x

Agora, basta encontrar o valor de x que torna a soma igual a 60:

• 9x = 60
• x = 60/9
• x = 20/3

Portanto, a resposta correta é B) 60.