Considere três prestações de mesmo valor vencidas nos períodos x, y e z tais que 0 < x < y < z de modo que, quando atualizadas na data zero a uma taxa constante de juros compostos, os valores atualizados estão em progressão geométrica de razão 2. Assinale a alternativa correta.

Vamos analisar a situação apresentada. Temos três prestações de mesmo valor vencidas nos períodos x, y e z, com 0 < x < y < z. Quando atualizadas na data zero a uma taxa constante de juros compostos, os valores atualizados estão em progressão geométrica de razão 2.

Sejam Vx, Vy e Vz os valores atualizados das prestações em x, y e z, respectivamente. Como estão em progressão geométrica de razão 2, temos:

Vy = 2Vx e Vz = 2Vy = 2(2Vx) = 4Vx

Além disso, como as prestações têm o mesmo valor, sabemos que:

Vx = V(1 + j)^-x, Vy = V(1 + j)^-y e Vz = V(1 + j)^-z

Substituindo as expressões de Vy e Vz em função de Vx, temos:

2Vx = V(1 + j)^-y e 4Vx = V(1 + j)^-z

Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos:

2 = ((1 + j)^-y) / ((1 + j)^-z) = (1 + j)^{z - y}

Tomando o logaritmo de ambos os lados, temos:

log(2) = (z - y)log(1 + j)

Isso implica que z - y = log(2) / log(1 + j). Agora, podemos analisar a relação entre x, y e z.

Como Vx = V(1 + j)^-x, Vy = 2Vx = V(1 + j)^-x2 e Vz = 4Vx = V(1 + j)^-x4, temos:

(1 + j)^-y = ((1 + j)^-x)² e (1 + j)^-z = ((1 + j)^-x)⁴

Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos:

-ylog(1 + j) = -2xlog(1 + j) e -zlog(1 + j) = -4xlog(1 + j)

Portanto, y = 2x e z = 4x.

Agora, podemos verificar as opções:

• A) x - 2y + z = x - 2(2x) + 4x = x - 4x + 4x = 0 ( Verdadeira )
• B) y - x - z = 2x - x - 4x = -3x ≠ 0 ( Falsa )
• C) y - 2x + z = 2x - 2x + 4x = 2x ≠ 0 ( Falsa )
• D) z - 2x + y = 4x - 2x + 2x = 4x ≠ 0 ( Falsa )
• E) z - y - z = 4x - 2x - 4x = -2x ≠ 0 ( Falsa )

Portanto, a alternativa correta é A) x - 2y + z = 0.