Sejam A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2, cujas entradas são definidas por aij = (-1)i+j2j-i+2(i-2j) , e f a função definida por f(x)= 9×2-9x+2. Sobre o valor do determinante da matriz A, é correto afirmar que ele é:

Para encontrar o valor do determinante da matriz A, vamos calcular as entradas da matriz. Como a matriz é quadrada de ordem 2, temos que calcular os valores de a₁₁, a₁₂, a₂₁ e a₂₂.
Substituindo os valores de i e j nas fórmulas, temos:
a₁₁ = (-1)¹⁺¹2^1-1+2(1-2*1) = 2
a₁₂ = (-1)¹⁺²2^2-1+2(1-2*2) = -6
a₂₁ = (-1)²⁺¹2^1-2+2(2-2*1) = -3
a₂₂ = (-1)²⁺²2^2-2+2(2-2*2) = 4
A matriz A é então:
A = ​ ​ ​ ​ | 2 -6 |
​ ​ ​ ​ |-3 4 |
O determinante de A é então:
det(A) = 2*4 - (-6)*(-3) = 8 - 18 = -10
Agora, vamos encontrar as raízes da função f(x) = 9x²-9x+2.
Fazendo x = y, temos:
9y²-9y+2 = 0
Dividindo toda a equação por 3, temos:
3y²-3y+2/3 = 0
Substituindo z = 3y, temos:
z²-z+2/3 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
z = (1 ± √(1 - 4*2/3)) / 2
z = (1 ± √(-1/3)) / 2
z = (1 ± i√(1/3)) / 2
Assim, as raízes de f(x) são:
y = (1 ± i√(1/3)) / 6
A soma das raízes de f é então:
(1 + i√(1/3)) / 6 + (1 - i√(1/3)) / 6 = 1/3
Portanto, o valor do determinante da matriz A é igual ao oposto da soma das raízes de f, que é -1/3.