Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.1
a) Num tetraedro 0 ABC, os ângulos e
medem 90º . Sendo
e
as medidas dos ângulos
e
, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo
em função de
e
.
b) Um navio parte do ponto de latitude 0º e longitude 0º e navega até chegar a um ponto de latitude 45º sul e longitude 45º oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?
Resposta:
a)
Usando trigonometria nos triângulos retângulos BOC, AOC e AOB, temos:
Pitágoras em AOB:
Substituindo AC e AB isolados na expressão de AB, encontramos:
Usando lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:
substituindo os termos já encontrados, que estão em função de alfa, beta e OC, temos:
Simplificando dos dois lados da equação e remanejando, temos:
Pela relação fundamental, temos:
Então:
_________________________________________________________________
b)
Supondo A o ponto de coordenadas 0° e 0° (ponto de partida).
Supondo B o ponto de coordenadas 0° latitude e 45° longitude.
Supondo C o ponto de coordenadas 45° latitude e 45° longitude (ponto de chegada).
Percebemos que A e B estão sobre o mesmo paralelo (linha do equador) e B e C estão sobre o mesmo meridiano (de 45°).
Sendo O o centro do globo, traçamos retas (que equivalem ao raio) OA, OB e OC. Podemos perceber que o ângulo AÔB deve ser de 45° (já que o trajeto de A até B corresponde a percorrer 45° sobre a linha do equador na superfície do globo. Analogamente, o ângulo BÔC também deve medir 45°, porque ir de B para C corresponde a percorrer 45° no meridiano.
Dessa maneira, temos uma situação análoga à figura da questão a, onde:
O arco AC é a distância percorrida pelo navio. Sendo assim, para descobrir o comprimento do arco, devemos saber o ângulo correspondente, que é AÔC. Assim, podemos usar o resultado obtido no item anterior:
Logo:
Portanto:
Como podemos descobrir o comprimento do arco AC:
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