Questões Sobre Probabilidade - Matemática - concurso

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Questão 1

Arquimedes ingressou no prédio 30 da PUCRS pensando na palavra ENGENHARIA. Se as letras desta palavra forem colocadas em uma urna, a probabilidade de se retirar uma letra E será

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A alternativa correta é E)

Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.

Arquimedes ingressou no prédio 30 da PUCRS pensando na palavra ENGENHARIA. Se as letras desta palavra forem colocadas em uma urna, a probabilidade de se retirar uma letra E será

Para calcular essa probabilidade, é necessário contar quantas letras E existem na palavra ENGENHARIA e dividir pelo total de letras. A palavra ENGENHARIA tem 10 letras: E-N-G-E-N-H-A-R-I-A. Existem 3 letras E. Portanto, a probabilidade de se retirar uma letra E é de 3/10 ou 0,3.

É interessante notar que a palavra ENGENHARIA tem uma forte ligação com a matemática. A própria palavra já sugere uma aplicação prática das leis matemáticas em problemas do mundo real. A engenharia é uma disciplina que busca resolver problemas utilizando conceitos matemáticos.

Arquimedes, ao visitar a PUCRS, pode ter notado que a Faculdade de Engenharia oferece cursos que abrangem diversas áreas, desde a engenharia civil até a engenharia aeroespacial. Cada uma dessas áreas envolve uma aplicação distinta da matemática.

Por exemplo, na engenharia civil, os profissionais utilizam conceitos de física e matemática para projetar e construir estruturas seguras e eficientes. Já na engenharia aeroespacial, os profissionais utilizam conceitos de mecânica celeste e dinâmica de sistemas para projetar e construir aeronaves e satélites.

Portanto, é natural que a probabilidade de se retirar uma letra E da palavra ENGENHARIA seja de 0,3, pois a engenharia está intimamente ligada à matemática.

A) 1/5
B) 1/10
C) 2/10
D) 3/10
E) 0,3

Resposta: E) 0,3

Questão 2

João reuniu-se com alguns amigos para jogar bingo. Assim que as cartelas do jogo foram distribuídas, João afirmou: “O primeiro número sorteado será um múltiplo de 4”. Nesse jogo, só podem ser sorteados números de 1 a 90 (inclusive), e qualquer um deles tem a mesma chance de ser sorteado.
Qual é a probabilidade de que a afirmativa de João esteja correta?

A)11 45
B)4 15
C)1 3
D)2 5
E)1 2

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A alternativa correta é A)

Vamos calcular a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja um múltiplo de 4. Os múltiplos de 4 entre 1 e 90 (inclusive) são: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84 e 88. São 22 múltiplos de 4.

Como qualquer número de 1 a 90 tem a mesma chance de ser sorteado, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja um múltiplo de 4 é igual ao número de múltiplos de 4 dividido pelo total de números possíveis. Ou seja:

P(múltiplo de 4) = número de múltiplos de 4 / total de números possíveis

P(múltiplo de 4) = 22 / 90

P(múltiplo de 4) = 11 / 45

Portanto, a probabilidade de que a afirmativa de João esteja correta é de 11/45.

Resposta: A) 11 / 45

Questão 3

Uma fábrica produz uma bomba hidráulica, que é vendida à razão de 200 unidades diárias. O desvio padrão é de 50 unidades, segundo uma distribuição normal, e sua demanda anual é estimada em 50.000 unidades.

Quando o estoque de bombas atinge um determinado valor (Ponto de Ressuprimento), um pedido de fabricação é enviado ao Departamento de Engenharia, que prepara e entrega a quantidade solicitada (calculada pelo lote econômico de fabricação) em 4 dias.

Sabendo-se que o custo de preparação para a produção é de R$ 1.000,00, o custo de manutenção de estoque é de R$ 100,00 por unidade/ano e que a falta de estoque está restrita a 5% (valor de z_normal≅ 2), qual o ponto de ressuprimento, em unidades, que atende a esse nível de serviço?

A)1.100
B)1.000
C)800
D)250
E)200

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A alternativa correta é B)

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, precisamos calcular o lote econômico de fabricação, que é o tamanho do lote que minimiza o custo total. O custo total é composto pelo custo de preparação e pelo custo de manutenção de estoque.

O custo de preparação é de R$ 1.000,00 e é independente do tamanho do lote. Já o custo de manutenção de estoque é de R$ 100,00 por unidade/ano e é diretamente proporcional ao tamanho do lote.

Para calcular o lote econômico, vamos usar a fórmula:

Lote Econômico = √(2 * Custo de Preparação * Demanda Anual) / Custo de Manutenção de Estoque

Lote Econômico = √(2 * R$ 1.000,00 * 50.000) / R$ 100,00

Lote Econômico ≈ 1.000 unidades

Agora que conhecemos o lote econômico, precisamos calcular o ponto de ressuprimento. O ponto de ressuprimento é o nível de estoque que desencadeia um pedido de fabricação.

O ponto de ressuprimento depende do nível de serviço desejado, que é de 95% no caso. Isso significa que a falta de estoque deve ocorrer em no máximo 5% dos casos.

Para calcular o ponto de ressuprimento, vamos usar a distribuição normal e a tabela de z-scores. O valor de z que corresponde a um nível de serviço de 95% é de aproximadamente 1,645.

O ponto de ressuprimento é calculado pela fórmula:

Ponto de Ressuprimento = Média + (z-score * Desvio Padrão)

Ponto de Ressuprimento = 200 + (1,645 * 50)

Ponto de Ressuprimento ≈ 1.000 unidades

Portanto, o ponto de ressuprimento que atende ao nível de serviço de 95% é de aproximadamente 1.000 unidades.

A resposta certa é B) 1.000.

Questão 4

Jogamos uma moeda comum e um dado comum.
A probabilidade de sair um número par e a face coroa é:

A)0,1
B)0,2
C)0,25
D)0,33
E)0,5

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A alternativa correta é C)

Vamos analisar essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos entender o que significa "um número par" quando jogamos um dado comum. Em um dado comum, existem 6 possibilidades: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Dessas possibilidades, três delas são números pares: 2, 4 e 6. Portanto, a probabilidade de sair um número par é 3/6 ou 1/2.

Agora, precisamos analisar a probabilidade de sair a face "coroa" quando jogamos uma moeda comum. Em uma moeda comum, existem apenas 2 possibilidades: cara ou coroa. Portanto, a probabilidade de sair a face "coroa" é 1/2.

Para calcular a probabilidade de sair um número par e a face "coroa" simultaneamente, precisamos multiplicar as probabilidades individuais. No caso, é 1/2 vezes 1/2, que é igual a 1/4 ou 0,25.

Portanto, a resposta correta é C) 0,25.

A) 0,1 - Errado
B) 0,2 - Errado
C) 0,25 - Correto
D) 0,33 - Errado
E) 0,5 - Errado

Questão 5

Considerando que, em determinada população, a probabilidade de um indivíduo recém-nascido sobreviver pelo menos até a idade x, medida em anos, é dada pela função de sobrevivência S(x)= 1 – x²/10.000, julgue os itens a seguir.

A probabilidade de que um indivíduo com 55 anos de idade feneça em até 10 anos é superior a 10% nessa população.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Para determinar se a afirmação está correta ou não, devemos calcular a probabilidade de que um indivíduo com 55 anos de idade faleça em até 10 anos. Isso equivale a calcular a probabilidade de que ele não sobreviva até os 65 anos. Podemos fazer isso utilizando a função de sobrevivência dada.

Seja S(x) a probabilidade de que um indivíduo recém-nascido sobreviva pelo menos até a idade x, então S(65) é a probabilidade de que um indivíduo recém-nascido sobreviva até os 65 anos. Já S(55) é a probabilidade de que um indivíduo recém-nascido sobreviva até os 55 anos.

A probabilidade de que um indivíduo com 55 anos de idade faleça em até 10 anos é a probabilidade de que ele não sobreviva até os 65 anos, dado que ele já sobreviveu até os 55 anos. Isso pode ser calculado como:

1 - (probabilidade de que ele sobreviva até os 65 anos | ele já sobreviveu até os 55 anos)

Para calcular essa probabilidade condicional, podemos utilizar a fórmula:

P(A|B) = P(A e B) / P(B)

No nosso caso, A é o evento "ele sobrevive até os 65 anos" e B é o evento "ele já sobreviveu até os 55 anos". Portanto:

1 - (probabilidade de que ele sobreviva até os 65 anos | ele já sobreviveu até os 55 anos) = 1 - (S(65) / S(55))

Agora, podemos calcular os valores de S(65) e S(55) utilizando a função de sobrevivência dada:

S(x) = 1 - x²/10.000

S(65) = 1 - 65²/10.000 = 1 - 4225/10000 = 1 - 0,4225 = 0,5775

S(55) = 1 - 55²/10.000 = 1 - 3025/10000 = 1 - 0,3025 = 0,6975

Agora, podemos calcular a probabilidade condicional:

1 - (S(65) / S(55)) = 1 - (0,5775 / 0,6975) = 1 - 0,828 = 0,172

A probabilidade de que um indivíduo com 55 anos de idade faleça em até 10 anos é de aproximadamente 17,2%. Como 17,2% é superior a 10%, a afirmação está correta.

Portanto, a resposta certa é C) CERTO.

Questão 6

Nessa população, a expectativa de vida de um indivíduo ao nascer é superior a 70 anos.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é E)

Para calcular a expectativa de vida de um indivíduo ao nascer, devemos calcular a integral da função de sobrevivência S(x) de 0 a infinito. Isso significa que a expectativa de vida é dada pela fórmula:

E(x) = ∫[0, ∞) x * S(x) dx

Substituindo a função de sobrevivência S(x) = 1 – x²/10.000, temos:

E(x) = ∫[0, ∞) x * (1 – x²/10.000) dx

Para resolver essa integral, podemos começar separando a integral em duas partes:

E(x) = ∫[0, ∞) x dx - ∫[0, ∞) x³/10.000 dx

A primeira integral é uma integral básica e pode ser resolvida facilmente:

∫[0, ∞) x dx = [x²/2] [0, ∞) = ∞

No entanto, a segunda integral não converge, pois o limite superior é infinito e a função x³/10.000 cresce mais rápido que x² quando x aumenta.

Portanto, a expectativa de vida E(x) não é finita e certamente não é superior a 70 anos. Logo, a resposta certa é:

E) ERRADO

Essa resposta pode parecer contra-intuitiva, pois a função de sobrevivência S(x) sugere que a probabilidade de sobrevivência é alta para idades baixas e decresce rapidamente à medida que a idade aumenta. No entanto, a expectativa de vida é uma medida que leva em conta a contribuição de todas as idades, inclusive as muito altas, que têm uma probabilidade de sobrevivência muito baixa.

É importante notar que essa função de sobrevivência é uma simplificação e não reflete a realidade, pois a probabilidade de sobrevivência não decresce tão rapidamente com a idade. Em populações reais, a expectativa de vida é calculada com base em dados estatísticos e é uma medida importante para entender a demografia de uma população.

Questão 7

Sorteando-se aleatoriamente um número no conjunto A = {n ∈ IN | 1 ≤ n ≤ 400} a probabilidade de que esse número seja um número múltiplo de 5 é igual a

A)1/5
B)5/80
C)1/400
D)5/500

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A alternativa correta é A)

Sorteando-se aleatoriamente um número no conjunto A = {n ∈ IN | 1 ≤ n ≤ 400} a probabilidade de que esse número seja um número múltiplo de 5 é igual a

O conjunto A tem 400 elementos, pois há 400 números inteiros entre 1 e 400. Entre esses 400 elementos, existem 80 números que são múltiplos de 5 (ou seja, 5, 10, 15, ..., 400). Logo, a probabilidade de que o número sorteado seja um múltiplo de 5 é igual ao número de casos favoráveis (80) dividido pelo número total de casos (400), o que resulta em 80/400. Simplificando essa fração, obtemos 1/5.

Portanto, a resposta correta é A) 1/5.

Vamos analisar as outras opções para entender por que elas estão erradas:

B) 5/80: essa opção está invertendo a fração correta. Em vez de dividir o número de casos favoráveis pelo número total de casos, está dividindo o número total de casos pelo número de casos favoráveis.
C) 1/400: essa opção está considerando que há apenas 1 caso favorável, o que não é verdade. Existem 80 números múltiplos de 5 no conjunto A.
D) 5/500: essa opção está considerando que o conjunto A tem 500 elementos, o que não é verdade. O conjunto A tem 400 elementos.

É importante notar que, em problemas de probabilidade, é fundamental contar corretamente o número de casos favoráveis e o número total de casos. Além disso, é preciso ter cuidado ao construir a fração que representa a probabilidade.

Esperamos que isso tenha ajudado a esclarecer o problema! Se você tiver alguma dúvida adicional, sinta-se à vontade para perguntar.

Questão 8

Em uma urna há 10 cartões numerados com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Um jovem retira um cartão e coloca na urna dois cartões com o mesmo algarismo que estava no cartão retirado. Então o jovem retira outro cartão da urna. A probabilidade dos dois cartões retirados terem o mesmo algarismo é

A)1/ 55
B)1/ 10
C)1/ 9
D)2/ 11
E)1/ 5

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A alternativa correta é D)

Vamos analisar o problema passo a passo. Inicialmente, há 10 cartões na urna, numerados de 0 a 9. Quando o jovem retira um cartão e coloca dois cartões com o mesmo algarismo na urna, o número total de cartões na urna passa a ser 12.

Suponha que o primeiro cartão retirado seja o número x. Nesse caso, os dois cartões adicionados à urna também terão o número x. Agora, imagine que você retira outro cartão da urna. Qual é a probabilidade de que esse cartão também tenha o número x?

Existem 12 cartões na urna, e 3 deles têm o número x. Portanto, a probabilidade de retirar um cartão com o número x é de 3/12.

No entanto, é importante notar que a probabilidade de que os dois cartões retirados tenham o mesmo algarismo é a mesma que a probabilidade de que o segundo cartão tenha o mesmo algarismo do primeiro. Isso porque a escolha do primeiro cartão não interfere na escolha do segundo cartão.

Portanto, a probabilidade dos dois cartões retirados terem o mesmo algarismo é de 3/12, que pode ser simplificado para 2/11.

Logo, a resposta certa é a opção D) 2/11.

A) 1/55 - Errado
B) 1/10 - Errado
C) 1/9 - Errado
D) 2/11 - Certo
E) 1/5 - Errado

Questão 9

Considerando que Celso e Márcio sejam candidatos a ocupar cargos em uma empresa; que a probabilidade de Celso ser contratado seja igual a 1/2; que a de Márcio ser contratado seja igual a 2/3, e que a de ambos serem contratados seja igual a 1/6, julgue os itens subsecutivos.

Pelo menos um dos dois candidatos será necessariamente contratado.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Vamos analisar a afirmação de que pelo menos um dos dois candidatos será necessariamente contratado. Para isso, vamos calcular a probabilidade de nenhum dos candidatos ser contratado.

Seja A o evento de Celso ser contratado e B o evento de Márcio ser contratado. Sabemos que:

P(A) = 1/2
P(B) = 2/3
P(A ∩ B) = 1/6

Para calcular a probabilidade de nenhum dos candidatos ser contratado, vamos calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, a probabilidade de pelo menos um dos candidatos ser contratado.

A probabilidade de Celso não ser contratado é 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2. A probabilidade de Márcio não ser contratado é 1 - P(B) = 1 - 2/3 = 1/3.

A probabilidade de nenhum dos candidatos ser contratado é a probabilidade de Celso não ser contratado e Márcio não ser contratado, que é igual a:

P((A U B)') = P(A' ∩ B') = P(A') × P(B') = (1/2) × (1/3) = 1/6

Portanto, a probabilidade de pelo menos um dos candidatos ser contratado é:

P(A U B) = 1 - P((A U B)') = 1 - 1/6 = 5/6

Como a probabilidade de pelo menos um dos candidatos ser contratado é maior que zero, podemos concluir que a afirmação está correta.

Logo, a resposta certa é:

C) CERTO

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Questão 10

Considerando que Celso e Márcio sejam candidatos a ocupar cargos em uma empresa; que a probabilidade de Celso ser contratado seja igual a 1/2 que a de Márcio ser contratado seja igual a 2/3 , e que a de ambos serem contratados seja igual a 1/6 , julgue os itens subsecutivos.

A probabilidade de apenas um deles ser contratado é igual a 5/6.

C) CERTO
E) ERRADO

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A alternativa correta é C)

Vamos calcular a probabilidade de apenas um deles ser contratado. Para isso, vamos calcular a probabilidade de Celso ser contratado e Márcio não ser contratado, e somar com a probabilidade de Márcio ser contratado e Celso não ser contratado.

Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de Celso ser contratado e Márcio não ser contratado. Para isso, vamos precisar calcular a probabilidade de Celso ser contratado e a probabilidade de Márcio não ser contratado.

A probabilidade de Celso ser contratado é igual a 1/2. A probabilidade de Márcio não ser contratado é igual a 1 - 2/3 = 1/3. Logo, a probabilidade de Celso ser contratado e Márcio não ser contratado é igual a (1/2) × (1/3) = 1/6.

Agora, vamos calcular a probabilidade de Márcio ser contratado e Celso não ser contratado. A probabilidade de Márcio ser contratado é igual a 2/3. A probabilidade de Celso não ser contratado é igual a 1 - 1/2 = 1/2. Logo, a probabilidade de Márcio ser contratado e Celso não ser contratado é igual a (2/3) × (1/2) = 1/3.

Finalmente, vamos somar as probabilidades calculadas acima. A probabilidade de apenas um deles ser contratado é igual a 1/6 + 1/3 = 5/6.

Portanto, a afirmativa está correta. A resposta certa é C) CERTO.

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