Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11 ≤ α ≤ 22 e 43 ≤ b ≤ 51.Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado ( a, b ) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?

Vamos começar contando o número total de pares ordenados (a, b) que podemos formar com os números naturais que satisfazem as condições 11 ≤ a ≤ 22 e 43 ≤ b ≤ 51. Podemos escolher qualquer número entre 11 e 22 para a, então temos 12 opções. Da mesma forma, podemos escolher qualquer número entre 43 e 51 para b, então temos 9 opções. Como a escolha de a é independente da escolha de b, podemos multiplicar o número de opções para obter o total de pares ordenados possíveis: 12 × 9 = 108.

Agora, vamos contar o número de pares ordenados (a, b) que satisfazem a condição de que a fração a/b seja irredutível e que o denominador b seja par. Para que a fração seja irredutível, a e b não devem ter nenhum divisor comum. Além disso, como b deve ser par, podemos escrever b = 2k, onde k é um número natural.

Vamos analisar cada possível valor de a e contar o número de valores de b que satisfazem as condições:

• Se a = 11, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 11/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 13, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 13/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 15, não há valores de b que satisfazem as condições, pois a fração 15/b não é irredutível para nenhum valor par de b.
• Se a = 17, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 17/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 19, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 19/b é irredutível para esses valores de b.
• Se a = 21, não há valores de b que satisfazem as condições, pois a fração 21/b não é irredutível para nenhum valor par de b.
• Se a = 22, os valores de b que satisfazem as condições são b = 44, 46, 48 e 50, pois a fração 22/b é irredutível para esses valores de b.

Portanto, temos 5 valores de a que satisfazem as condições, e para cada um desses valores, temos 4 valores de b que também satisfazem as condições. Isso significa que temos um total de 5 × 4 = 20 pares ordenados (a, b) que satisfazem as condições.

Agora, podemos calcular a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a, b) que satisfaz as condições:

P = número de pares ordenados que satisfazem as condições / total de pares ordenados possíveis

P = 20 / 108 = 5 / 27

Portanto, a resposta correta é E) 5/27.