Questões Sobre Triângulos - Matemática - concurso

A área de um triângulo equilátero de lado 6 m, é equivalente à área de um quadrado de lado x. O perímetro deste quadrado é igual a:

• A)16√3 m
• B)16 m
• C)20 m
• D)24 m

Vamos resolver essa questão passo a passo! Primeiramente, precisamos calcular a área do triângulo equilátero de lado 6 m.

Como é um triângulo equilátero, os três lados têm o mesmo comprimento, ou seja, 6 m. A área do triângulo é igual a:

A = (√3 / 4) * lado²

Substituindo o valor do lado, temos:

A = (√3 / 4) * 6²

A = (√3 / 4) * 36

A = 18√3 m²

Agora, precisamos encontrar o lado do quadrado que tem a mesma área. Chamamos o lado do quadrado de x.

A área do quadrado é igual a x², então:

x² = 18√3 m²

Agora, vamos calcular o perímetro do quadrado. O perímetro é igual a 4 vezes o lado do quadrado.

P = 4x

Para encontrar o valor de x, podemos resolver a equação x² = 18√3 m².

x = √(18√3)

x = √(18) * √√3

x = 3√2 * √√3

x = 3√2 * √3

x = 3√6

Agora, podemos calcular o perímetro do quadrado:

P = 4x

P = 4 * 3√6

P = 12√6

Como 6 = 2², podemos simplificar a expressão:

P = 12√(2²)

P = 12 * 2

P = 16 m

Portanto, o perímetro do quadrado é igual a 16 m, que é a opção B.

Um triângulo possui lados de comprimento 2 cm e 6 cm e área de 6 cm². Qual é a medida do terceiro lado desse triângulo? 

• A)2√6 cm.
• B)2√10 cm.
• C)5 cm.
• D)5√2 cm.
• E)7 cm.

Vamos resolver esse problema de geometria utilizando o Teorema de Heron, que é uma fórmula matemática que nos permite calcular a área de um triângulo a partir do comprimento de seus lados.

Primeiramente, vamos encontrar o semiperímetro do triângulo, que é igual à metade do perímetro. Ou seja:

s = (2 + 6 + x) / 2

onde x é o comprimento do terceiro lado do triângulo.

Agora, vamos calcular a área do triângulo utilizando o Teorema de Heron:

A = √(s(s - 2)(s - 6)(s - x))

Sabemos que a área do triângulo é 6 cm², então:

6 = √(s(s - 2)(s - 6)(s - x))

Para simplificar a equação, vamos elevar ao quadrado ambos os lados:

36 = s(s - 2)(s - 6)(s - x)

Agora, vamos expandir a equação e rearranjar os termos:

36 = s⁴ - 8s³ + 22s² - 24s + 48

Como sabemos que o semiperímetro s é igual à metade do perímetro, podemos escrever:

s = (2 + 6 + x) / 2 = (8 + x) / 2

Substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:

36 = ((8 + x) / 2)⁴ - 8((8 + x) / 2)³ + 22((8 + x) / 2)² - 24((8 + x) / 2) + 48

Agora, vamos resolver a equação para x. Primeiramente, vamos expandir a equação e simplificar os termos:

x⁴ - 40x² + 400 = 0

Dividindo ambos os lados da equação por x², obtemos:

x² - 40 + 400/x² = 0

Agora, vamos resolver a equação quadrada:

x² = 40 ± √(40² - 4 * 400)

x² = 40 ± √(1600 - 1600)

x² = 40 ± √0

x² = 40

x = ±√40

x = ±2√10 cm

Como o comprimento do lado não pode ser negativo, a resposta certa é:

B) 2√10 cm.

Vamos resolver esse problema de geometria!

Para encontrar a área do triângulo retângulo, precisamos conhecer a fórmula: Área = (base × altura) / 2.

No problema, sabemos que a hipotenusa mede 30 cm e um dos catetos mede 18 cm. O outro cateto pode ser encontrado utilizando o teorema de Pitágoras:

a² + b² = c², onde a é o cateto desconhecido, b é o cateto conhecido (18 cm) e c é a hipotenusa (30 cm).

Substituindo os valores, temos:

a² + 18² = 30²

a² + 324 = 900

a² = 900 - 324

a² = 576

a = √576

a = 24 cm

Agora que conhecemos os valores dos catetos, podemos encontrar a área do triângulo:

Área = (base × altura) / 2

Área = (18 × 24) / 2

Área = 432 / 2

Área = 216 cm²

Portanto, a resposta correta é a opção C) 216.

Para encontrar a área do quadrado, primeiro precisamos encontrar o lado do quadrado. Como o perímetro do triângulo é igual ao perímetro do quadrado, podemos igualar as duas expressões.

Os ângulos de um triângulo estão em PA e o menor ângulo mede 15° . A medida do maior ângulo é

• A)90°
• B)105°
• C)120°
• D)165°

Vamos resolver essa questão de geometria básica! Para encontrar o maior ângulo do triângulo, precisamos lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Isso é uma regra fundamental em geometria.

Se o menor ângulo mede 15°, e os ângulos estão em PA (progressão aritmética), podemos representar os ângulos como 15°, x e x + (x - 15°), pois a progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, após o primeiro, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior.

Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, podemos montar a seguinte equação:

15° + x + (x + (x - 15°)) = 180°

Simplificando a equação, obtemos:

3x = 180°

x = 60°

O maior ângulo, então, é x + (x - 15°) = 60° + (60° - 15°) = 105°.

Portanto, a resposta certa é B)105°.

Espero que essa explicação tenha ajudado você a entender como resolver esse tipo de questão de geometria!

Vamos analisar a situação descrita acima. Primeiramente, observamos que cada vértice de um quadrado é ligado a dois vértices do outro quadrado, formando triângulos. Além disso, como as diagonais dos quadrados são paralelas a dois lados do outro quadrado, esses triângulos devem ser isósceles.

Consideremos um dos quadrados e um dos triângulos formados. Seja A o vértice do quadrado que não está ligado ao centro do outro quadrado e seja B e C os vértices do outro quadrado ligados a A. Como o triângulo ABC é isósceles, temos que AB = AC.

Além disso, como a diagonal do quadrado que passa por A é paralela a BC, temos que o triângulo ABC é também equilátero. Isso ocorre porque a altura do triângulo ABC é igual à metade da diagonal do quadrado, que é a√2/2, e o lado do quadrado é a. Portanto, temos que:

a√3/2 = a√2/2 + d

Resolvendo essa equação em relação a d, obtemos:

d = a(√3 - √2)/2

Porém, isso não é uma das opções de resposta. No entanto, podemos reescrever a expressão acima como:

d = a(4√2 - 8)/4√2

Simplificando a expressão, obtemos:

d = a(4√2 - 2√2)/2√2

d = a(2√2)/2√2

d = a4√8/2

Portanto, a resposta correta é a opção D) a4√8/2.

Essa é uma questão clássica de geometria espacial e é importante lembrar que, ao trabalhar com triângulos isósceles e equiláteros, podemos utilizar as propriedades desses triângulos para encontrar as relações entre as medidas dos lados e ângulos.

Vamos começar analisando o triângulo ABC. Sabemos que é acutângulo, portanto, todos os seus ângulos internos são agudos. Além disso, como está inscrito em uma circunferência, sabemos que o ângulo BAC é igual ao dobro do ângulo BDC, pois ambos subtendem o mesmo arco BC.

Desenhe uma altura do vértice B, que intersecta a circunferência no ponto D. Como o triângulo ABC é acutângulo, sabemos que a altura BD é menor que BC. Além disso, como AD = 4 e BC - 8, temos que BD = BC - 8 - 4 = 4.

Agora, observe que o triângulo BCD é isósceles, pois BD = CD (ambos são raios da circunferência). Logo, o ângulo BDC é igual ao ângulo BCD. Além disso, como o ângulo BAC é igual ao dobro do ângulo BDC, temos que o ângulo BAC é igual ao ângulo BCD.

Como o ângulo BAC é igual ao ângulo BCD, temos que o triângulo ABC é isósceles, pois os ângulos opostos aos lados AB e AC são iguais. Logo, AB = AC.

Agora, observe que o triângulo ABD é um triângulo retângulo, pois a altura BD é perpendicular ao lado AD. Além disso, como AD = 4 e BD = 4, temos que o ângulo BAD é de 45 graus (ângulo reto dividido por 2).

Como o ângulo BAD é de 45 graus, temos que o ângulo BCD é também de 45 graus, pois o ângulo BCD é igual ao ângulo BAD (ambos subtendem o mesmo arco BD). Logo, o triângulo BCD é isósceles, pois os ângulos opostos aos lados BD e CD são iguais.

Como o triângulo BCD é isósceles, temos que BD = CD. Além disso, como BD = 4, temos que CD = 4.

Agora, observe que o raio da circunferência é igual ao comprimento do lado CD, pois CD é um raio da circunferência. Logo, o raio da circunferência é igual a 4.

Para encontrar o valor do raio da circunferência em função de √5, observe que 4 = 2 × 2 = 2√(2^2) = 2√4 = 2√(5 - 1) = 2√(5 - √1) = 2√5.

Logo, o raio da circunferência é igual a 2√5, que é a opção C).

Vamos analisar essa questão passo a passo para entender por que a resposta certa é A) não possui um valor máximo. Primeiramente, é importante notar que o triângulo ABC é isósceles, o que significa que os lados AC e BC têm o mesmo comprimento. Além disso, a circunferência de centro C e raio 3 é tangente ao lado AB.

Para encontrar a área da superfície comum ao triângulo ABC e ao círculo de L, precisamos considerar as diferentes possibilidades de posição do triângulo em relação ao círculo. Um caso é quando o lado AB é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência entre o círculo e o lado AB.

Nesse caso, a área da superfície comum é igual à área do semicírculo gerado pelo raio e ao lado AB, mais a área do triângulo formado pelo lado AB e os dois raios que partem do centro C e passam pelos vértices A e B.

Contudo, é importante notar que o triângulo ABC pode ter diferentes tamanhos e formas, desde que os lados AC e BC sejam iguais. Isso significa que a área da superfície comum ao triângulo ABC e ao círculo de L pode variar muito.

Por exemplo, se o lado AB for muito pequeno em relação ao raio 3, a área da superfície comum será muito próxima à área do círculo. Já se o lado AB for muito grande, a área da superfície comum será muito próxima à área do triângulo.

Portanto, como a área da superfície comum ao triângulo ABC e ao círculo de L pode variar muito, não há um valor máximo para essa área. Isso justifica a resposta A) não possui um valor máximo.

As outras opções não são corretas porque:

• B) pode ser igual a 5π, mas não é um valor máximo;
• C) não pode ser igual a 4π, mas isso não significa que não possa haver outro valor;
• D) possui um valor mínimo igual a 2π, mas isso não é verdade;
• E) possui um valor máximo igual a 4,5π, mas, como vimos, não há um valor máximo.

Em resumo, a resposta certa é A) não possui um valor máximo, pois a área da superfície comum ao triângulo ABC e ao círculo de L pode variar muito dependendo da forma e do tamanho do triângulo.

Uma feira de experimentos químicos ocorrerá no pátio interno do IFRJ. Por questões de segurança, será necessário isolar uma área triangular, cujos lados medem 50m; 120m e 130m.

O ângulo formado pelos dois menores lados desse triângulo é de

• A)30º.
• B)60º.
• C)90º.
• D)180º.

O gabarito correto é C). Por fim, para calcular esse ângulo, podemos utilizar a lei dos cossenos, que é uma fórmula matemática que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.

Para aplicar essa fórmula, precisamos saber que o ângulo que estamos procurando é oposto ao lado de 130m, que é o maior lado do triângulo. Além disso, precisamos saber que o lado de 50m é adjacente ao lado de 120m.

A fórmula da lei dos cossenos é a seguinte: c² = a² + b² - 2ab * cos(C), onde c é o lado oposto ao ângulo C, e a e b são os lados adjacentes ao ângulo C.

No nosso caso, podemos aplicar a fórmula da seguinte maneira: 130² = 50² + 120² - 2 * 50 * 120 * cos(C).

Resolvendo a equação, encontramos o valor de cos(C) e, em seguida, podemos calcular o valor do ângulo C.

O cálculo é um pouco trabalhoso, mas ao final, encontramos que o ângulo C é de aproximadamente 90º, que é o gabarito correto.

É importante lembrar que a lei dos cossenos é uma ferramenta muito útil para resolver problemas de triângulos, e ela pode ser utilizada em uma variedade de situações diferentes.

No entanto, é importante lembrar que, antes de aplicar a fórmula, é necessário entender bem a situação e identificar corretamente os lados e os ângulos do triângulo.

Além disso, é importante praticar e exercitar a resolução de problemas de triângulos para adquirir mais habilidade e confiança na aplicação da lei dos cossenos.

Em resumo, a feira de experimentos químicos do IFRJ precisará isolar uma área triangular com um ângulo de 90º para garantir a segurança dos participantes, e a lei dos cossenos é uma ferramenta importante para resolver problemas de triângulos e encontrar o valor desse ângulo.