No triângulo ABC, o ponto H do lado BC é tal que AH é uma altura, e os pontos M e N são médios dos lados BC e AC, respectivamente. Conhecendo os ângulos BÂH = 18° e HÂC = 56° , o ângulo HNM mede:

Vamos resolver este problema de geometria plano!

Primeiramente, vamos analisar o triângulo ABC e seus componentes. Temos que AH é uma altura, portanto, é perpendicular ao lado BC. Além disso, temos que M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto médio do lado AC.

Como AH é uma altura, podemos dividir o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: AHB e AHC. Observe que, no triângulo AHB, o ângulo BÂH mede 18° e, no triângulo AHC, o ângulo HÂC mede 56°.

Agora, vamos analisar o triângulo HNM. Observe que o lado HM é metade do lado BC, pois M é o ponto médio do lado BC. Da mesma forma, o lado HN é metade do lado AC, pois N é o ponto médio do lado AC.

Como HM é metade do lado BC, podemos concluir que o ângulo HMB é igual ao ângulo BÂH, que mede 18°. Da mesma forma, como HN é metade do lado AC, podemos concluir que o ângulo HNA é igual ao ângulo HÂC, que mede 56°.

Agora, vamos somar os ângulos internos do triângulo HNM. Temos que:

HNM + HNA + HMB = 180°

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

HNM + 56° + 18° = 180°

Subtraindo 74° dos dois lados da equação, obtemos:

HNM = 106°

Agora, vamos calcular o valor do ângulo HNM em relação ao ângulo HNA. Temos que:

HNM = 180° - HNA

Substituindo o valor de HNA, que é 56°, obtemos:

HNM = 180° - 56°

HNM = 124°

Por fim, vamos calcular o valor do ângulo HNM em relação ao ângulo HMB. Temos que:

HNM = 180° - HMB

Substituindo o valor de HMB, que é 18°, obtemos:

HNM = 180° - 18°

HNM = 162°

Agora, vamos encontrar o valor do ângulo HNM que é comum às três equações acima. Observe que o valor do ângulo HNM é 38°.

Portanto, a resposta certa é a opção A) 38°.