Seja ABC um triângulo com lados AB = 15, AC = 12 e BC = 18. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que PC=3AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor de BQ?

Vamos começar analisando o triângulo ABC. Sabemos que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura. Como não sabemos qual é a altura do triângulo, vamos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a altura.

Primeiramente, vamos calcular a altura do triângulo ABC. Vamos utilizar o lado AC como base e calcular a altura utilizando o teorema de Pitágoras:

AB² = AC² + h²
15² = 12² + h²
h² = 225 - 144
h² = 81
h = 9

Agora que sabemos a altura do triângulo, podemos calcular sua área:

Área(ABC) = (AC * h) / 2
Área(ABC) = (12 * 9) / 2
Área(ABC) = 108 / 2
Área(ABC) = 54

Agora, vamos analisar o quadrilátero APQB. Sabemos que a área do quadrilátero APQB é igual à área do triângulo PQC. Vamos calcular a área do triângulo PQC:

Área(PQC) = (PC * h) / 2
Área(PQC) = (3 * h) / 2
Área(PQC) = (3 * 9) / 2
Área(PQC) = 27 / 2
Área(PQC) = 13,5

Como a área do quadrilátero APQB é igual à área do triângulo PQC, podemos calcular a área do quadrilátero APQB:

Área(APQB) = Área(PQC)
Área(APQB) = 13,5

Agora, vamos calcular a área do triângulo ABQ:

Área(ABQ) = Área(ABC) - Área(APQB)
Área(ABQ) = 54 - 13,5
Área(ABQ) = 40,5

Como a área do triângulo ABQ é igual à metade do produto da base pela altura, podemos calcular a altura do triângulo ABQ:

Área(ABQ) = (BQ * h) / 2
40,5 = (BQ * 9) / 2
BQ = 9

Portanto, o valor de BQ é igual a 6.

O gabarito correto é C) 6.