Considere a situação hipotética em que, na investigação para encontrar a arma usada em um crime, o suspeito tenha declarado o seguinte para o delegado: “O local onde enterrei a arma é um ponto tal que as distâncias desse ponto à minha casa, à delegacia e ao fórum são iguais.” Admitindo que a cidade seja plana e que o fórum, a delegacia e a casa do suspeito sejam os vértices de um triângulo cujos ângulos internos são todos agudos — menores que 90º — e cujos comprimentos dos lados são todos desiguais, a polícia encontrará a referida arma

Vamos analisar essa situação hipotética e encontrar a resposta certa. Primeiramente, é importante notar que o suspeito disse que as distâncias do ponto onde enterrou a arma à sua casa, à delegacia e ao fórum são iguais. Isso significa que o ponto onde ele enterrou a arma é equidistante desses três locais.

Para encontrar o local exato, vamos utilizar conhecimentos de geometria. Como a cidade é plana, podemos representar os locais como pontos no plano. Além disso, como os ângulos internos do triângulo formado pela casa do suspeito, a delegacia e o fórum são todos agudos, sabemos que o triângulo é escaleno (ou seja, todos os lados têm comprimentos diferentes).

Agora, vamos analisar as opções de resposta. A opção A) sugere que o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo é o local onde a arma foi enterrada. Uma mediatriz é uma linha que passa pelo meio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. O ponto de encontro das mediatrizes é chamado de circuncentro do triângulo.

Já a opção B) sugere que o ponto onde a arma foi enterrada está em um ponto externo ao triângulo. No entanto, como o suspeito disse que as distâncias do ponto à sua casa, à delegacia e ao fórum são iguais, sabemos que o ponto deve estar dentro do triângulo.

As opções C), D) e E) também não são válidas. O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo não é o local onde a arma foi enterrada, pois essas bissetrizes não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo. Além disso, o ponto de encontro das medianas do triângulo não é o local certo, pois as medianas não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo. Por fim, o ponto de encontro das alturas do triângulo também não é o local onde a arma foi enterrada, pois as alturas não precisam ser necessariamente perpendiculares aos lados do triângulo.

Portanto, a resposta certa é A) o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. É importante notar que o circuncentro do triângulo é o único ponto que é equidistante dos três vértices do triângulo, o que é exatamente o que o suspeito disse.