Dado um triângulo eqüilátero, qual é o valor da razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito a este triângulo?

Vamos resolver esse problema de geometria!

Primeiramente, é importante lembrar que em um triângulo eqüilátero, todos os lados têm o mesmo comprimento. Além disso, os ângulos internos desse triângulo também são iguais, cada um medindo 60 graus.

Agora, vamos analisar o círculo inscrito nesse triângulo. O centro desse círculo coincide com o centro do triângulo, e seu raio é igual à altura do triângulo dividida por 3 (r = h/3). Já o círculo circunscrito tem seu centro no centro do triângulo, e seu raio é igual ao lado do triângulo (R = a).

Para calcular a razão entre as áreas dos círculos, precisamos calcular primeiramente as áreas de cada um deles. A área do círculo inscrito é igual a pi*r^2, e a área do círculo circunscrito é igual a pi*R^2.

Agora, vamos substituir os valores de r e R em função do lado do triângulo (a). Como r = h/3 e h = a*√3/2 (altura de um triângulo eqüilátero), temos que r = a*√3/6. Já R = a.

Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:

• A área do círculo inscrito é igual a pi*(a*√3/6)^2 = pi*a^2/12.
• A área do círculo circunscrito é igual a pi*a^2.

Agora, podemos calcular a razão entre as áreas dos círculos:

Razão = (pi*a^2/12) / (pi*a^2) = 1/12.

Como a razão pedida é entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito, e não o inverso, temos que:

Razão = 1 / (1/12) = 1/9.

Portanto, a resposta certa é a opção D) 1/9.