Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue o item que se segue, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos. A quantidade máxima de triângulos distintos que podem ser formados a partir desses 9 pontos é igual a 60.

Vamos analisar a quantidade máxima de triângulos que podem ser formados a partir desses 9 pontos. Primeiramente, escolhemos um ponto na reta R, que são 4 opções possíveis. Em seguida, escolhemos outro ponto na reta R, que são 3 opções possíveis (pois não podemos escolher o mesmo ponto duas vezes). Por fim, escolhemos um ponto na reta S, que são 5 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com um vértice na reta R e os outros dois vértices em posições diferentes é de 4 × 3 × 5 = 60. No entanto, isso não é uma conta correta, pois estamos contando triângulos iguais mais de uma vez. Por exemplo, se escolhemos os pontos A, B e C, em seguida, podemos escolher os pontos B, A e C, que é o mesmo triângulo.

Para evitar essa contagem duplicada, devemos dividir o resultado anterior por 3!, que é o número de permutações de 3 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com um vértice na reta R e os outros dois vértices em posições diferentes é de 60 ÷ 3! = 60 ÷ 6 = 10.

Agora, vamos considerar os triângulos com dois vértices na reta R e um vértice na reta S. Nesse caso, escolhemos dois pontos na reta R, que são 4 × 3 ÷ 2! = 6 opções possíveis (pois a ordem não importa). Em seguida, escolhemos um ponto na reta S, que são 5 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta R e um vértice na reta S é de 6 × 5 = 30. Novamente, estamos contando triângulos iguais mais de uma vez, então devemos dividir o resultado anterior por 2!, que é o número de permutações de 2 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta R e um vértice na reta S é de 30 ÷ 2! = 30 ÷ 2 = 15.

Por fim, vamos considerar os triângulos com dois vértices na reta S e um vértice na reta R. Nesse caso, escolhemos dois pontos na reta S, que são 5 × 4 ÷ 2! = 10 opções possíveis (pois a ordem não importa). Em seguida, escolhemos um ponto na reta R, que são 4 opções possíveis.

Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta S e um vértice na reta R é de 10 × 4 = 40. Novamente, estamos contando triângulos iguais mais de uma vez, então devemos dividir o resultado anterior por 2!, que é o número de permutações de 2 elementos. Portanto, a quantidade de triângulos que podemos formar com dois vértices na reta S e um vértice na reta R é de 40 ÷ 2! = 40 ÷ 2 = 20.

Portanto, a quantidade máxima de triângulos distintos que podem ser formados a partir desses 9 pontos é de 10 + 15 + 20 = 45.

Logo, a alternativa correta é E) ERRADO.

• C) CERTO
• E) ERRADO