No triângulo ABC, o ângulo de vértice A é obtuso,BC = a e AB = AC = b. Os pontos P e Q do lado BC são tais que BP = PA = AQ = QC

Calcule o valor de AP em função de a e b.

Para isso, vamos começar desenhando a figura do triângulo ABC com os pontos P e Q no lado BC.

Como os ângulos internos de um triângulo somam 180°, temos que o ângulo de vértice A seja maior que 90°, pois é obtuso.

Além disso, como BP = PA = AQ = QC, podemos concluir que os triângulos APB e AQC são isósceles, pois têm lados iguais.

Isso nos permite aplicar o teorema do ângulo externo em ambos os triângulos, obtendo:

• ∠PAB = ∠QAC, pois são ângulos externos iguais;
• ∠PAB + ∠PAQ = 180°, pois são ângulos adjacentes;
• ∠PAQ = ∠QAC, pois são ângulos alternos internos;

Portanto, podemos concluir que o quadrilátero APQC é um quadrilátero ciclico, pois seus vértices estão sobre uma mesma circunferência.

Isso nos permite aplicar o teorema de Ptolomeu, que nos dá:

• AP × AQ + BP × CQ = AC², pois o produto dos lados opostos é igual ao quadrado da diagonal;

Substituindo os valores dados, temos:

• AP × (a - AP) + AP × (a - AP) = b², simplificando;
• 2AP × (a - AP) = b², dividindo ambos os membros pela constante;
• AP = (a² - b²) / (2a), rearranjando os termos.

Portanto, o valor de AP em função de a e b é (a² - b²) / (2a), que é a opção E) a² - 2b² / a.