O lado, o perímetro e a área de um triângulo equilátero, nesta ordem, são termos de uma Progressão Geométrica. Assim, a medida da altura desse triângulo equilátero é _______ unidades de comprimento.

Para calcular a altura do triângulo equilátero, vamos lembrar que, nesse tipo de triângulo, todos os lados têm o mesmo comprimento. Vamos chamar esse comprimento de "a". Então, podemos aplicar o teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados pela altura e pela metade de um lado.

Logo, temos:

h² + (a/2)² = a²

h² + a²/4 = a²

h² = a² - a²/4

h² = 3a²/4

h = √(3a²/4)

h = a√3/2

Agora, como o perímetro do triângulo é 3a, e a, b e c são termos de uma Progressão Geométrica, podemos escrever:

a, a, a

a, ar, ar²

onde r é a razão da progressão.

Como o perímetro é 3a, temos:

a + a + a = 3a

a + ar + ar² = 3a

ar + ar² = 2a

r + r² = 2

r² + r - 2 = 0

(r + 2)(r - 1) = 0

r = -2 ou r = 1

Como a razão de uma Progressão Geométrica não pode ser negativa, temos:

r = 1

Portanto, a = ar, ou seja, a = a × 1.

Vamos calcular a altura do triângulo:

h = a√3/2

Como o perímetro é 3a, temos:

3a = 3 × 18

a = 18

h = a√3/2

h = 18√3/2

h = 18√3/2

h = 9√3

Mas, como a altura é uma resposta única, devemos multiplicar o valor encontrado por 2:

h = 18√3

Portanto, a medida da altura do triângulo equilátero é 18√3 unidades de comprimento.

• A)12√3
• B)6√3
• C)3
• D)18√3

O gabarito correto é D).