Sejam: a) ƒ uma função real de variável real definida por ƒ(x) = arcig( x³/3 – x ), x > 1 e b) L a reta tangente ao gráfico da função y = ƒ-1(x) no ponto ( 0, ƒ-1(0) ). Quanto mede, em unidade de área, a área do triângulo formado pela reta L e os eixos coordenados?

Para resolver esse problema, vamos começar analisando a função ƒ(x) = arccos(x³/3 - x). Primeiramente, vamos encontrar a inversa dessa função, que é ƒ^-1(x) = (3x + √(9x² + 12))¹/³ + (3x - √(9x² + 12))¹/³.

Em seguida, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função y = ƒ^-1(x) no ponto (0, ƒ^-1(0)). Para isso, vamos calcular a derivada de ƒ^-1(x) em x = 0.

ƒ'(x) = (1/(3(3x + √(9x² + 12))²/³))(3 + (9x/√(9x² + 12))) - (1/(3(3x - √(9x² + 12))²/³))(3 - (9x/√(9x² + 12)))

ƒ'(0) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Portanto, a reta tangente ao gráfico da função y = ƒ^-1(x) no ponto (0, ƒ^-1(0)) é L: y = (2/3)x.

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção da reta L com os eixos coordenados. O ponto de interseção com o eixo x é (3/2, 0), e o ponto de interseção com o eixo y é (0, 0).

Finalmente, vamos calcular a área do triângulo formado pela reta L e os eixos coordenados.

A área do triângulo é igual a (base * altura) / 2. Nesse caso, a base é igual a 3/2 e a altura é igual a 1.

A área do triângulo é igual a (3/2 * 1) / 2 = 3/4.

Mas como a área é dada em unidades de área, a resposta é 3.