A distância mais curta entre o ponto (- 1,0, 2) e o plano x + 2y + z =4 é:

A distância mais curta entre o ponto (- 1,0, 2) e o plano x + 2y + z =4 é:

• A)3√7 7
• B)2√3 3
• C)4√5 5
• D)6√11 11
• E)5√6 6

Vamos calcular a distância entre o ponto e o plano. Primeiramente, é necessário encontrar o vetor normal ao plano. Para isso, podemos reescrever a equação do plano na forma vetorial:

→n = (1, 2, 1)

Em seguida, precisamos encontrar o vetor que liga o ponto ao plano. Vamos chamar esse vetor de →v. Para encontrar →v, podemos subtrair as coordenadas do ponto do plano das coordenadas do ponto em questão:

→v = (-1, 0, 2) - (0, 0, 0) = (-1, 0, 2)

Agora, podemos calcular o produto escalar entre →n e →v:

→n · →v = (1, 2, 1) · (-1, 0, 2) = -1 + 0 + 2 = 1

O produto escalar nos fornece a projeção de →v sobre →n. Para encontrar a distância entre o ponto e o plano, precisamos dividir o produto escalar pelo módulo de →n:

distância = |→n · →v| / |→n|

Primeiramente, vamos calcular o módulo de →n:

|→n| = √(1² + 2² + 1²) = √6

Agora, podemos calcular a distância:

distância = |1| / √6 = 1 / √6 = √(1/6) = √(6/36) = √6/6 = 5√6/30 = 1/2 * 5√6

Portanto, a distância mais curta entre o ponto (- 1,0, 2) e o plano x + 2y + z =4 é igual a 1/2 * 5√6. Isso é aproximadamente igual a 5√6/6, que é a opção E).