O valor de a para que os pontos A (-1, 3-a), B (3, a+1) e C (0, -1) sejam colineares é um número real

Para entendermos melhor porque o valor de a é primo, vamos analisar a situação. Os pontos A, B e C são colineares se a reta que passa por A e B for a mesma que passa por B e C. Isso significa que as equações das retas devem ser iguais.

Primeiramente, vamos encontrar as equações das retas. A equação da reta que passa por A e B é dada por:

y - (3 - a) = (x + 1) / 4

Já a equação da reta que passa por B e C é dada por:

y - (a + 1) = (-a - 2) / 3 (x - 3)

Como essas equações devem ser iguais, podemos igualá-las e resolver para a:

(x + 1) / 4 = (-a - 2) / 3 (x - 3) + (a + 1)

Agora, vamos resolver essa equação. Primeiramente, vamos multiplicar ambos os lados por 12 para eliminar as frações:

3(x + 1) = -4(a + 2)(x - 3) + 12(a + 1)

Em seguida, vamos expandir os produtos:

3x + 3 = -4ax + 12a + 8x - 24 - 12a - 8

Agora, vamos agrupar os termos:

3x + 3 = 8x - 4ax - 24 - 8

Vamos isolar x:

(4a - 11)x = -31

Agora, vamos isolar a:

a = (11x + 31) / 4

Como a é um número real, então x pode ser qualquer número real. No entanto, como a é primo, então x deve ser um número que, quando multiplicado por 11 e somado a 31, dê um primo.

Por exemplo, se x = 0, então a = 31 / 4 = 7.75, que não é primo. Se x = 1, então a = 42 / 4 = 10.5, que também não é primo. No entanto, se x = -2, então a = -1 / 4 = 2, que é primo.

Portanto, o valor de a pode ser primo, o que justifica a resposta A) primo.