Dado os pontos A(-2,5), B(1,1)e C( -1, -1)o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a:

Vamos calcular a altura do triângulo ABC em relação à base AC. Para isso, primeiro vamos calcular o vetor AC.

AC = C - A = (-1, -1) - (-2, 5) = (1, -6)

Agora, vamos calcular o vetor AB.

AB = B - A = (1, 1) - (-2, 5) = (3, -4)

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AC e AB.

O produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2) é definido como:

a × b = a1*b2 - a2*b1

No nosso caso, temos:

AC × AB = (1, -6) × (3, -4) = 1*(-4) - (-6)*3 = -4 + 18 = 14

O módulo do produto vetorial é igual ao produto dos módulos dos vetores pela seno do ângulo entre eles.

|AC × AB| = |AC|*|AB|*sen(θ)

Como a altura do triângulo é igual ao produto dos módulos dos vetores pela seno do ângulo entre eles, temos:

altura = |AC|*|AB|*sen(θ) = |AC × AB|

Para calcular o módulo do vetor AC, fazemos:

|AC| = √(1² + (-6)²) = √(1 + 36) = √37

Para calcular o módulo do vetor AB, fazemos:

|AB| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25

Agora, vamos calcular a altura do triângulo:

altura = |AC × AB| = 14

Porm, como a altura é uma distância, ela não pode ser negativa. Logo, a altura é igual a:

altura = 14/√37

Portanto, o valor da altura do triângulo ABC em relação à base AC é igual a:

D) 14√37/37