Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,

Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,

• A)15/8.
• B)5.
• C)25/8.
• D)5√2.
• E)10.

Para resolver este problema, precisamos calcular a área do triângulo ABC e, em seguida, utilizar a fórmula do raio da circunferência circunscrita.

Primeiramente, vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, podemos utilizar a fórmula da área de um triângulo, que é dada por:

Área = (base × altura) / 2

No caso do triângulo ABC, podemos escolher a base como o segmento AB e a altura como a distância entre o vértice C e a base.

A base do triângulo ABC é o segmento AB, que tem comprimento igual a:

|AB| = √((5 - 1)² + (1 - 4)²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Agora, vamos calcular a altura do triângulo ABC. A altura é a distância entre o vértice C e a base.

A distância entre o vértice C e a base é igual à distância entre o vértice C e o ponto (5, 1), que é o ponto médio do segmento AB.

Essa distância é igual a:

|CM| = √((5 - 5)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = √16 = 4

Agora que conhecemos a base e a altura do triângulo ABC, podemos calcular sua área:

Área = (base × altura) / 2 = (5 × 4) / 2 = 20 / 2 = 10

Agora que conhecemos a área do triângulo ABC, podemos calcular o raio da circunferência circunscrita.

A fórmula do raio da circunferência circunscrita é dada por:

R = (a × b × c) / (4 × área)

onde a, b e c são os lados do triângulo.

No caso do triângulo ABC, os lados são:

|AB| = 5

|BC| = √((5 - 5)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = √16 = 4

|CA| = √((5 - 1)² + (5 - 4)²) = √(4² + 1²) = √(16 + 1) = √17

Agora, podemos calcular o raio da circunferência circunscrita:

R = (a × b × c) / (4 × área) = (5 × 4 × √17) / (4 × 10) = (20 × √17) / 40 = 5√17 / 10 = 5√2

Portanto, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC é igual a 5√2.

O gabarito correto é D) 5√2.