Suponha que uma partícula guiada pelo calor está localizada no ponto (2,-1) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x,y) é T(x, y) = 100 – 5×2 – y2 . Em cada ponto de sua trajetória, a partícula tem velocidade dirigida na direção do aumento máximo da temperatura. Então, a equação para a trajetória dessa partícula é:
Suponha que uma partícula guiada pelo calor está localizada no ponto (2,-1) de
uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto (x,y) é T(x, y) = 100 – 5x2 – y2 . Em cada ponto de sua trajetória, a partícula tem
velocidade dirigida na direção do aumento máximo da temperatura. Então, a
equação para a trajetória dessa partícula é:
- A)y4 + 8x = 1
- B)y4 - 8 x2 = 0
- C)y5 - 5 x2 = 0
- D)y5 + 0,5x = 0
- E)y3+ 0,5x2 =1
Resposta:
A alternativa correta é D)
Vamos encontrar a equação da trajetória da partícula. Para isso, precisamos encontrar a derivada parcial de T em relação a x e a y, pois a partícula se move na direção do aumento máximo da temperatura.
Primeiramente, calculemos a derivada parcial de T em relação a x:
∂T/∂x = -10x
Agora, calculemos a derivada parcial de T em relação a y:
∂T/∂y = -2y
Como a partícula se move na direção do aumento máximo da temperatura, seu movimento é dado pela equação:
dy/dx = ∂T/∂y / ∂T/∂x = (-2y) / (-10x)
Simplificando a equação, obtemos:
dy/dx = y / 5x
Agora, podemos separar as variáveis e integrar:
∫dy / y = ∫dx / 5x
ln|y| = (1/5) ln|x| + C
Exponenciando ambos os lados, obtemos:
y = kx^(1/5), onde k é uma constante.
Como a partícula começa no ponto (2,-1), podemos encontrar o valor de k:
-1 = k(2)^(1/5)
k = -1/√(32) = -0.5
Portanto, a equação da trajetória da partícula é:
y = -0.5x^(1/5)
Comparando com as opções, vemos que a resposta certa é:
D) y5 + 0,5x = 0
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