Sejam os pontos A(−2, 2), B(2, −1) e C(5, k). Se a distância entre A e B é a mesma que a entre B e C, a soma dos possíveis valores de k é

Vamos calcular a distância entre A e B utilizando a fórmula de distância entre dois pontos no plano cartesiano:

D(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores dos pontos A e B, temos:

D(A, B) = √((2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2)

D(A, B) = √((4)^2 + (-3)^2)

D(A, B) = √(16 + 9)

D(A, B) = √25

D(A, B) = 5

Agora, vamos calcular a distância entre B e C utilizando a mesma fórmula:

D(B, C) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo os valores dos pontos B e C, temos:

D(B, C) = √((5 - 2)^2 + (k - (-1))^2)

D(B, C) = √((3)^2 + (k + 1)^2)

D(B, C) = √(9 + (k + 1)^2)

Como a distância entre A e B é a mesma que a entre B e C, podemos igualar as duas expressões:

√25 = √(9 + (k + 1)^2)

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:

25 = 9 + (k + 1)^2

Subtraindo 9 de ambos os membros da equação, temos:

16 = (k + 1)^2

Tirando a raiz quadrada de ambos os membros da equação, temos:

±4 = k + 1

Subtraindo 1 de ambos os membros da equação, temos:

k = -1 ± 4

Portanto, os valores possíveis de k são -5 e 3. A soma desses valores é:

-5 + 3 = -2

Logo, a resposta correta é D) -2.