Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndro, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada
na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é
o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se
que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o
volume do poço cilíndro, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
- A)1,44
- B)6,00
- C)7,20
- D)8,64
- E)36,00
Resposta:
A alternativa correta é B)
Vamos começar calculando o volume do cone de terra. O volume de um cone circular reto é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura. No caso, o raio da base do cone é três vezes o raio do poço, então podemos chamar o raio do poço de r e o raio da base do cone de 3r. Além disso, sabemos que a altura do cone é 2,4 metros. Substituindo esses valores na fórmula, temos:
V = (1/3)π(3r)²(2,4) = 7,2πr²
Agora, sabemos que o volume do cone é 20% maior do que o volume do poço. Isso significa que o volume do poço é 100/120 = 5/6 do volume do cone. Se chamarmos o volume do poço de Vp, podemos escrever:
Vp = (5/6)V = (5/6)(7,2πr²) = 6πr²
O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr²h, onde r é o raio e h é a altura. Nesse caso, o volume do poço é 6πr², então podemos igualar essa expressão à fórmula do volume do cilindro:
6πr² = πr²h
Dividindo ambos os lados pela expressão πr², obtemos:
6 = h
Portanto, a profundidade do poço é de 6 metros.
A resposta certa é B) 6,00.
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