Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é

Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é

• A)R3 = 3r3
• B)R2 = 2r2
• C)R3 = 2r3
• D)R2 = 3r2

Para encontrar a resposta certa, vamos analisar a situação geometricamente. Quando um cone circular reto é cortado por um plano paralelo à sua base, os volumes dos dois sólidos resultantes são iguais. Isso significa que a altura do cone original é dividida em duas partes iguais.

Vamos considerar o volume do cone original, que é dado pela fórmula V = (1/3)πR²h, onde R é o raio da base e h é a altura do cone. Como o plano corta o cone em dois sólidos de volumes iguais, cada um deles terá um volume igual à metade do volume do cone original, ou seja, (1/2)V = (1/6)πR²h.

Agora, vamos analisar o volume do cone menor, cujo raio da base é r. Seu volume é dado pela fórmula V = (1/3)πr²h', onde h' é a altura do cone menor. Como o volume do cone menor é igual à metade do volume do cone original, podemos estabelecer a equação:

(1/3)πr²h' = (1/6)πR²h

Para encontrar a relação entre R e r, podemos simplificar a equação acima, cancelando os termos π e (1/3), e reorganizando os termos restantes:

r²h' = (1/2)R²h

Como a altura do cone original é dividida em duas partes iguais, a altura do cone menor é igual à metade da altura do cone original, ou seja, h' = (1/2)h. Substituindo essa igualdade na equação acima, obtemos:

r²((1/2)h) = (1/2)R²h

Cancelando o termo h em ambos os lados da equação, obtemos:

r² = (1/2)R²

Elevando ambos os lados da equação ao cubo, obtemos:

r³ = (1/2)³R³

r³ = (1/8)R³

Portanto, a relação existente entre R e r é R³ = 2r³, que é a opção C.

O gabarito correto é, portanto, C) R³ = 2r³.