Seja n um número inteiro tal que satisfaz a igualdade 7! = 8( n -1) ! – 720. Então, vale que:

Vamos resolver essa questão passo a passo! Primeiramente, vamos desenvolver a igualdade dada:

7! = 8(n - 1)! - 720

Como 7! = 5040, podemos reescrever a igualdade como:

5040 = 8(n - 1)! - 720

Somando 720 nos dois lados da igualdade, obtemos:

5760 = 8(n - 1)!

Agora, dividindo ambos os lados da igualdade por 8, obtemos:

720 = (n - 1)!

Note que 720 pode ser fatorado como 6! = 720. Portanto, podemos escrever:

6! = (n - 1)!

Isso significa que n - 1 = 6, ou seja, n = 7.

Como n = 7, podemos verificar que:

n é um número natural maior que 6, mas menor ou igual a 10. Portanto, a opção A está incorreta.

n é um número ímpar, pois 7 é um número ímpar. Portanto, a opção C está correta.

n não é um número par, pois 7 é um número ímpar. Portanto, a opção B está incorreta.

n não é um inteiro quadrado perfeito, pois 7 não é um quadrado perfeito. Portanto, a opção D está incorreta.

n é um número natural menor que 10, mas maior que 6. Portanto, a opção E está incorreta.

Portanto, o gabarito correto é C) n é um número ímpar.