Considere em um plano o triângulo MNO, retângulo em O, e o triângulo NOP retângulo em N. Estes triângulos são tais que o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q e a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN. Se a medida do ângulo ∠QMO é 21° então a medida do ângulo ∠NMQ é

Vamos analisar o triângulo MNO, que é retângulo em O. Isso significa que o ângulo ∠MNO é um ângulo reto, ou seja, 90°. Além disso, como o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q, podemos criar dois triângulos menores: MQO e MPN.

Como a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN, podemos criar uma proporção entre os lados do triângulo MQO. Vamos chamar a medida do lado MN de x. Então, a medida do segmento PQ será 2x.

Agora, vamos analisar o triângulo MQO. Como é um triângulo retângulo em O, sabemos que a soma dos ângulos internos é 90°. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:

∠QMO + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

Vamos substituir o valor de ∠QMO, que é 21°:

21° + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

Agora, vamos analisar o triângulo MPN. Como é um triângulo retângulo em N, sabemos que a soma dos ângulos internos é 90°. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:

∠NMQ + ∠MPN + ∠MNP = 90°

Vamos substituir o valor de ∠MNP, que é igual a ∠MOQ (pois ambos são ângulos correspondentes em triângulos semelhantes):

∠NMQ + ∠MPN + ∠MOQ = 90°

Agora, vamos comparar as duas equações:

21° + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

∠NMQ + ∠MPN + ∠MOQ = 90°

Podemos ver que as duas equações têm a mesma estrutura e o mesmo valor de ∠MOQ. Portanto, podemos concluir que:

∠NMQ = 21° + ∠MQO

Agora, vamos analisar o triângulo MQO novamente. Como é um triângulo retângulo em O, sabemos que ∠MQO é um ângulo agudo. Além disso, como ∠QMO é 21°, podemos concluir que ∠MQO é menor que 21°.

Portanto, podemos escrever uma desigualdade:

∠MQO < 21°

Agora, vamos substituir essa desigualdade na equação anterior:

∠NMQ = 21° + ∠MQO < 21° + 21° = 42°

Portanto, a medida do ângulo ∠NMQ é menor que 42°. Mas como ∠NMQ é um ângulo agudo, sabemos que sua medida é maior que 0°. Portanto, a medida do ângulo ∠NMQ é:

0° < ∠NMQ < 42°

Entre as opções, a única que está dentro desse intervalo é:

• D) 42°.

Portanto, a resposta correta é D) 42°.