Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida

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1) O gráfico mostra a evolução diária, em certo intervalo de tempo não especificado na abscissa, de dois índices econômicos, normalizados para que suas médias, no mesmo período, sejam ambas iguais a 1. O valor do índice 1 no dia ݅ i é xi e o valor do índice 2 no dia ݅ i é yi. O gráfico ilustra como cada um dos índice xi e yi varia em função de i ݅, mostrando os pontos (i, xi) (pontos escuros) e (i, yi) (pontos claros).

Para entender melhor a relação entre os dois índices, um novo gráfico foi feito com os pares $(x_i,y_i)$ , isto é, com o índice 1 na abscissa contra o índice 2 na ordenada. O resultado foi:

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A alternativa correta é letra B)

Os índices foram normalizados tal que a média de todos $x_i : e: y_i$ desse 1. Logo :

$frac{x_1+x_2+...+x_i+...+x_n}{n}=frac{y_1+y_2+...+y_i+...+y_n}{n}=1$

Repare do gráfico do enunciado que, quando $x_ileqslant 1,0$ , quase sempre $y_igeqslant 1,0$ e o oposto disso também ocorre.

Logo, no início do no gráfico, $x_ileqslant 1,0$ os pontos estão acima de $y_i=1,0$

Depois de $x_igeqslant 1,0$ , os pontos estão abaixo de $y_i=1,0$

Desta forma, temos um gráfico decrescente

O melhor gráfico que mais se assemelha ao descrito acima é o da letra B.

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2) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

A) $frac{1}{9}$
B) $frac{17}{81}$
C) $frac{1}{3}$
D) $frac{51}{125}$
E) $frac{125}{243}$

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A alternativa correta é letra B)

Para que a seta pare na sua posição original, o número de passos para a esquerda deve ser igual ao número de passos para a direita:

E = Passos para a esquerda

D = Passos para a direita

P = Parada

Logo, temos as seguintes possibilidades (P+E+D=5)

P = 1, E=2, D=2

Permutando todas as letras (para considerar as ordens diferentes que essa configuração pode acontecer) excluindo-se as repetições:

$underline{E} underline{E} underline{P} underline{D} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{2!2!} = 30$

P = 3, E=1, D=1

$underline{E} underline{P} underline{P} underline{P} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{3!} = 20$

P = 5, E=0, D=0

$underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} rightarrow Possibilidades = 1$

Assim, temos 30+20+1 = 51 possibilidades de se atingir o objetivo.

O total de possibilidades de jogadas são: $3^5$

Assim, a probabilidade pedida é:

$Probabilidade = frac{5!}{3^5} = frac{51}{3^5}=frac{17}{81}$

3) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Se log₂ y = – (1/2) + (2/3) log₂ x, para x > 0 , então

A) $y = frac{sqrt[3]{x^2}}{sqrt{2}}$
B) $y = sqrt{frac{x^3}{2}}$
C) $y = -frac{1}{sqrt{2}}+sqrt[3]{x^2}$
D) $y = sqrt{2}cdotsqrt[3]{x^2}$
E) $y = sqrt{2x^3}$

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A alternativa correta é letra A)

$log_{2}y = -frac{1}{2}+frac{2}{3}log_{2}x$ , x > 0:

$log_{2}y = -frac{1}{2}+log_{2}left (x^{frac{2}{3}} right )$

$log_{2}y - log_{2}left (x^{frac{2}{3}} right )= -frac{1}{2}$

$log_{2}left (frac{y}{x^{frac{2}{3}}} right ) = -frac{1}{2}$

Colocando ambos os lados da equação como expoentes na base 2, obtemos:

$frac{y}{x^{frac{2}{3}}} = 2^{-frac{1}{2}}$

$y = frac{1}{sqrt{2}}cdot x^{frac{2}{3}}$

$y = frac{sqrt[3]{x^2}}{sqrt{2}}$

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4) (FUVEST – 2019) Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com formato de paralelepípedos reto‐retângulos) que têm paredes laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B, C e D, conforme indicação da figura. Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m de largura, que a lateral do outro prédio tem 60 m de altura e 20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m uma da outra, a área total dessa lona seria de

A) 300 m²
B) 360 m²
C) 600 m²
D) 720 m²
E) 1.200 m²

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A alternativa correta é letra C)

Da figura do enunciado e sabendo que $l_2=28cm$ e $l_1=20cm$ , respectivamente as larguras dos prédios 2 e 1, podemos deduzir que a lona será num formato de um trapézio.

AB = 28 cm

DC = 20 cm

DE = h = altura do trapézio (lona).

Logo a área total da lona se da pela área do trapézio

$A=frac{20+28}{2}h=24h$

O ponto M é a projeção do ponto D na lateral de 2.

Logo $overline{DM}$ = 15 m

$overline{ME}$ é igual ao desnível entre os dos prédios, ou seja, 80m - 60m = 20 m

Por Pitágoras temos :

$h^2=overline{DM}^2+overline{ME}^2\\h^2=15^2+20^2 \\h=25m$

Logo $A=24cdot 25=600m^2$

5) (FUVEST – 2019) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

A) 2,1 m³
B) 2,3 m³
C) 3,0 m³
D) 4,2 m³
E) 6,0 m³

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A alternativa correta é letra A)

Base de um degrau:

Área da base = 20*50 = 1000 cm2

Altura de desnível (Entre um degrau e outro): 10 cm

Repare que quando adicionamos um degrau a outro, a altura do outro degrau em relação ao chão é igual à altura do degrau anterior em relação ao chão mais 10 cm.

Logo, para um n-ésimo degrau, a altura do mesmo em relação ao chão é

$H_{n} = H_{n-1}+10,$ onde Hn-1 é a altura do degrau anterior

Para se calcular o volume da escada somamos o volume de cada degrau, sendo o volume de cada degrau igual a ABASE vezes a altura em relação ao chão.

Para n = 20:

$V_{total} = A_{base}*H_{1}+ A_{base}*H_{2}+...+ A_{base}*H_{20}$

$V_{total} = A_{base}*(H_{1}+ H_{2}+...+ H_{19}+H_{20})$

Repare que o seguinte equacionamento pode ser feito:

Logo,

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=H_{1}+19*10+H_{1}*18*10+...+H_{1}*10+H_{1} = 0$

$20H_{1}+10*(1+2+...+19),$

Como essa sequência (1+2+...+19) pode ser vista como uma P.A. de razão +1, podemos usar a soma dos n termos de uma P.A. $S_n=frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Logo, obtemos:

$1+2+...+19 = frac{(19+1)*19}{2}=190$

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=20*H_{1}+10*190, sendo$

$H_{1} = 10$

$V_{TOTAL} = A_{BASE}*(20*10*10*190)$

$V_{TOTAL} = 1000*210*10 = 2,1*10^6 cm^3$

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6) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza:

A) da altura de um poste
B) da altura de um prédio de 30 andares
C) do comprimento da Av. Paulista
D) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ)
E) do diâmetro da Terra.

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A alternativa correta é letra D)

1ª operação: 1 folha

2ª operação: 1 folha

3ª operação: 1+1 = 2 folhas

4ª operação: 1+1+2 = 4 folhas

5ª operação: 1+1+2+4 = 8 folhas

6ª operação: 16 folhas

Temos a seguinte sequência: (1,1,2,4,8,16,32,...) -> PG de razão q=2.

Após a 33ª operação teremos:

(1,1,2,4,8,16,32,64,...)

1 termo + 32 termos da PG = 33 operações

Nº folhas: $1 + S_{PG} = 1 + frac{1*(2^{32}-1)}{2-1}=2^{32} folhas$

Ordem de grandeza da altura

$H = 2^{32} folhas*0,1mm = (2^{12})^2*2^8*10^{-4}m$

$H = (4,096*10^3)^2*256*10^{-4}m$

$H = (4,0)^2*10^6*2,56*10^2*10^{-4}approx 16*3*10^4 m$

$H = 48*10^4 m cong 480 km$

7) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: “Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês”. Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do comerciante?

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A alternativa correta é letra E)

1ª informação: Crescimento mais ou menos constante nos primeiros três meses

2ª informação: Na 1ª quinzena depois do terceiro mês, há uma queda abrupta, deixando o faturamento pela metade do que aquele conquistado ao fim do terceiro mês.

3ª informação: Voltando a crescer, iguala-se ao faturamento do final do terceiro mês, um mês e meio após a queda

4ª informação: Ao final do 10º mês o faturamento está 50% maior do que aquele do final do terceiro mês

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8) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Considere a função polinomial ݂f: ℝ → ℝ definida por f(x) = ax² + bx +c, em que a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0

No plano cartesiano xy,a única intersecção da reta y=2 com o gráfico de f é o ponto ( 2; 2) e a intersecção da reta x=0 com o gráfico de ݂f é o ponto (0; -6). O valor de ܽa+b+c é:

A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6

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A alternativa correta é letra B)

$f(x) = ax^2+bx+c, aneq 0$

$P(2,2) epsilon f(x)$

$Q(0,-6) epsilon f(x)$

Substituindo:

$P(2,2) rightarrow f(2) = 2 = 4a+2b+c$

$Q(0,-6) rightarrow f(0) = -6 = c$

Graficamente:

1) $P(2,2)$ é o único ponto de intersecção do polinômio com a reta y=2.

2) $f(x) = ax^2+bx+2$ é uma parábola.

3) f(x) intersecta a reta x=0.

Assim, temos que esta é a única configuração possível. Pelo gráfico, temos que:

$x_{v} = -frac{b}{2a} = 2$

$b = -4a$

Como temos:

$left{begin{matrix}2 = 4a+2b+c \ c=-6 \ b=-4a end{matrix}right.$

Concluímos que:

$2 = 4a+2(-4a)+-6$

$4a = -8$

$a = -2$

$b = 8$

Logo,

$a + b + c = -2 + 8 -6 = 0$

9) Se a função f: R – {2} → R é definida por f(x) = (2x+1) / (x-2) e a função g: R -{2} → R é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a

A) $frac{x}{2}$
B) $x^2$
C) $2x$
D) $2x+3$
E) $x$

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A alternativa correta é letra E)

$f(x)=frac{2x+1}{x-2}$

Como g(x) é definida como f(f(x)), então substituindo x por f(x) na expressão de f(x), temos:

$g(x)=frac{2f(x)+1}{f(x)-2} = frac{2frac{2x+1}{x-2}+1}{frac{2x+1}{x-2}-2}$

$g(x)= frac{frac{4x+2+x-2}{x-2}}{frac{2x+1-2x+4}{x-2}} = frac{5x}{x-2}*frac{x-2}{5} = x$

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10) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs. O número total de filhos e filhas da família é

A) 4
B) 5
C) 7
D) 10
E) 15

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A alternativa correta é letra C)

Irmãos : x

Irmãs: y

1º passo: 1 menina tem y - 1 irmãs.

Pelo enunciado, "número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos":

$frac{x}{2}=y-1Rightarrow x=2y-2$

2º passo: 1 menino tem x - 1 irmãos

Pelo enunciado, "Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs":

$x-1=y$

Montando o sistema:

$left{begin{matrix} x=2y-2\x=y+1 end{matrix}right.$

Como x já está isolado (em ambas equações) basta substitui-lo em qualquer uma equação escolhida, obtendo:

$\2y-2=y+1\y=3\x=4\x+yRightarrow 3+4=7$

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