Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120°. O valor de tg2(x) é igual a

Vamos resolver essa questão de trigonometria! Para encontrar o valor de tg2(x), precisamos primeiro encontrar o valor de x. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos:

x + 45° + 120° = 180°

x = 15°

Agora, podemos encontrar o valor de tg2(15°). Vamos utilizar a identidade trigonométrica tg2(x) = tg²(x) - 1:

tg²(15°) - 1 = ?

Para encontrar o valor de tg(15°), vamos utilizar a identidade trigonométrica tg(x) = sen(x) / cos(x). Além disso, podemos utilizar a fórmula de duplicação de ângulos para encontrar o valor de sen(30°) e cos(30°):

sen(30°) = 1/2 e cos(30°) = √3/2

Então, tg(15°) = sen(15°) / cos(15°) = (2 * sen(30°) * cos(30°)) / (1 - 2 * sen²(30°))

tg(15°) = (2 * 1/2 * √3/2) / (1 - 2 * 1/4) = √3 / (√3 - 1)

Agora, podemos encontrar o valor de tg²(15°):

tg²(15°) = (√3 / (√3 - 1))² = (√3)² / (√3 - 1)² = 3 / (√3 - 1)²

Então, podemos encontrar o valor de tg2(15°):

tg2(15°) = tg²(15°) - 1 = 3 / (√3 - 1)² - 1

Vamos simplificar essa expressão:

tg2(15°) = (3 - (√3 - 1)²) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (3 - (3 - 2√3 + 1)) / (√3 - 1)²

tg2(15°) = (2√3 - 1) / (√3 - 1)²

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por (√3 + 1):

tg2(15°) = ((2√3 - 1) * (√3 + 1)) / ((√3 - 1)² * (√3 + 1))

tg2(15°) = (2√3² + 2√3 - √3 - 1) / (√3² - 1)

tg2(15°) = (6 + 2√3 - √3 - 1) / (3 - 1)

tg2(15°) = (5 + √3) / 2

tg2(15°) = 7 - 4√3

Portanto, a resposta certa é a opção C) 7 - 4√3.