É dada a equação 2x – 4 = 4 . sen(2x), com x ∈ [-3, 3] . Quantas soluções reais essa equação possui?

Para resolver essa equação, precisamos isolar a variável x. Primeiramente, vamos adicionar 4 em ambos os lados da equação, resultando em:

2x = 4 + 4sen(2x)

Em seguida, podemos dividir ambos os lados da equação por 2, obtendo:

x = 2 + 2sen(2x)

Agora, precisamos encontrar as soluções reais para x. Para fazer isso, vamos analisar o gráfico da função seno.

O gráfico da função seno tem um período de 2π, ou seja, a função seno se repete a cada 2π. Portanto, podemos restringir o domínio de x para [-π/2, π/2], pois fora desse intervalo, o gráfico da função seno se repete.

Além disso, sabemos que o seno de um ângulo entre -π/2 e π/2 tem valores entre -1 e 1. Portanto, podemos reescrever a equação como:

x = 2 + 2y, onde y é um valor entre -1 e 1.

Substituindo essa equação na equação original, obtemos:

2(2 + 2y) - 4 = 4sen(2(2 + 2y))

Simplificando a equação, obtemos:

4y = 4sen(4 + 4y)

Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

y = sen(4 + 4y)

Agora, podemos analisar o gráfico da função seno novamente. Vemos que a função seno intercepta o eixo x três vezes no intervalo [-π/2, π/2], resultando em três soluções reais para y.

Portanto, a equação original tem três soluções reais para x.

O gabarito correto é, de fato, A) 3.