O número de raízes reais da equação 2cos2x + 3cosx + 1=0 no intervalo ]0,2π[ é

O número de raízes reais da equação 2cos2x + 3cosx + 1=0 no intervalo ]0,2π[ é

• A)0.
• B)1.
• C)2.
• D)3.
• E)4.

Vamos resolver essa equação utilizando algumas técnicas de trigonometria e análise de funções. Primeiramente, vamos isolar o termo cos2x.

2cos2x + 3cosx + 1 = 0

Vamos usar a fórmula de Pitágoras: cos2x = 1 - sen2x.

Substituindo na equação original, obtemos:

2(1 - sen2x) + 3cosx + 1 = 0

Agora, vamos isolar o termo sen2x.

2 - 2sen2x + 3cosx + 1 = 0

Vamos reorganizar os termos:

-2sen2x + 3cosx + 3 = 0

Agora, vamos dividir toda a equação por -2:

sen2x - (3/2)cosx - (3/2) = 0

Vamos resolver essa equação utilizando a técnica de substituição. Vamos substituir cosx por t.

sen2x = (1 - t2)

Substituindo na equação original, obtemos:

(1 - t2) - (3/2)t - (3/2) = 0

Vamos resolver essa equação quadrada:

t2 + (3/2)t + (3/2) - 1 = 0

Vamos fatorar:

(t + 1)(t + (3/2)) = 0

Agora, vamos encontrar os valores de t que satisfazem a equação:

t = -1 ou t = -3/2

Vamos voltar à variável original, cosx:

cosx = -1 ou cosx = -3/2

Agora, vamos encontrar os valores de x que satisfazem a equação:

x = π ou x = arccos(-3/2)

Portanto, existem 3 raízes reais da equação no intervalo ]0,2π[.

O gabarito correto é D)3.