Ao subtrair cos 225° de sen 420°, obtém-se

Para entender melhor como se chega à resposta certa, vamos analisar cada uma das alternativas.

Primeiramente, é importante lembrar que o seno e o cosseno são relacionados às razões trigonométricas de um triângulo retângulo. Além disso, é fundamental saber que o seno e o cosseno têm um período de 360°, ou seja, após completar um ciclo, os valores se repetem.

Assim, ao subtrair 225° de 420°, estamos efetivamente calculando o seno de 195°, pois 420° - 225° = 195°. Agora, precisamos encontrar o valor do seno de 195°.

Uma maneira de fazer isso é utilizando a identidade trigonométrica sen(a - b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b). Nesse caso, podemos escolher a = 210° e b = 15°, pois 210° - 15° = 195°.

Substituindo os valores, temos:

sen(195°) = sen(210°)cos(15°) - cos(210°)sen(15°)

Agora, precisamos encontrar os valores do seno e do cosseno para 15° e 210°. Isso pode ser feito utilizando as razões trigonométricas de um triângulo retângulo ou, mais facilmente, utilizando uma calculadora.

O valor do seno de 15° é aproximadamente 0,2588, e o valor do cosseno de 15° é aproximadamente 0,9659.

Já o valor do seno de 210° é igual ao valor do seno de 30°, pois 210° - 180° = 30°. O valor do seno de 30° é igual a 1/2.

O valor do cosseno de 210° é igual ao valor do cosseno de 30°, pois 210° - 180° = 30°. O valor do cosseno de 30° é igual a √3/2.

Agora, podemos substituir os valores na identidade trigonométrica:

sen(195°) = (1/2)cos(15°) - (√3/2)sen(15°)

sen(195°) = (1/2)(0,9659) - (√3/2)(0,2588)

sen(195°) = 0,483 - 0,224

sen(195°) = 0,259

Agora, precisamos encontrar o valor de cos(225°). Isso pode ser feito novamente utilizando a identidade trigonométrica cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b).

Substituindo os valores, temos:

cos(225°) = cos(210°)cos(15°) + sen(210°)sen(15°)

cos(225°) = (-√3/2)(0,9659) + (1/2)(0,2588)

cos(225°) = -0,482 - 0,129

cos(225°) = -0,611

Agora, podemos substituir os valores na equação original:

sen(420°) - cos(225°) = 0,259 - (-0,611)

sen(420°) - cos(225°) = 0,870

Por fim, para encontrar o valor exato, podemos utilizar as razões trigonométricas de um triângulo retângulo.

Para isso, vamos considerar um triângulo retângulo com ângulo de 45°. Nesse caso, o seno e o cosseno do ângulo são iguais.

sen(45°) = cos(45°) = √2/2

Agora, vamos considerar um triângulo retângulo com ângulo de 30°. Nesse caso, o seno e o cosseno do ângulo são:

sen(30°) = 1/2

cos(30°) = √3/2

Agora, podemos encontrar o valor exato de sen(420°) - cos(225°) utilizando as razões trigonométricas:

sen(420°) - cos(225°) = (√3/2)(√2/2) - (√2/2)(1/2)

sen(420°) - cos(225°) = (√6/4) - (√2/4)

sen(420°) - cos(225°) = (√6 - √2)/4

sen(420°) - cos(225°) = (√3 + √2)/2

Portanto, a resposta certa é A) √3+√2/2.