A equação da circunferência tangente à reta x + y – 8 = 0 e com centro no ponto (2,1) é

Vamos analisar essa questão passo a passo! Para encontrar a equação da circunferência, precisamos utilizar a fórmula geral da circunferência, que é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio.

No nosso caso, o centro é o ponto (2, 1), então h = 2 e k = 1. Além disso, a circunferência é tangente à reta x + y - 8 = 0, o que significa que o raio da circunferência é igual à distância do centro até a reta.

Para calcular essa distância, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: distance = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2), onde (x0, y0) é o ponto (2, 1) e a, b e c são os coeficientes da reta x + y - 8 = 0.

Portanto, a distância é igual a |2 + 1 - 8| / sqrt(1^2 + 1^2) = |-5| / sqrt(2) = 5 / sqrt(2).

Agora, podemos substituir os valores na fórmula da circunferência: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (5 / sqrt(2))^2.

Expanding a equação, obtemos: x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 25 / 2.

Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 2x^2 - 8x + 8 + 2y^2 - 4y + 2 = 25.

Subtraindo 25 de ambos os lados, obtemos: 2x^2 - 8x + 2y^2 - 4y - 17 = 0.

Dividindo ambos os lados por 2, temos: x^2 - 4x + y^2 - 2y - 8.5 = 0.

Portanto, a resposta correta é a opção D) x^2 + y^2 - 4x - 2y - 7.5 = 0.