Início » Prova da Fuvest 2019 Resolvida » Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida » (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 4) Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao seremretiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, aprobabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por Pa , a probabilidade de saírem duas bolas brancas édenotada por Pb, e a probabilidade de saírem duas bolasde cores diferentes é denotada por Pm .

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(FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 4) Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao seremretiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, aprobabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por Pa , a probabilidade de saírem duas bolas brancas édenotada por Pb, e a probabilidade de saírem duas bolasde cores diferentes é denotada por Pm .

a) Se A = 2 e B = 5, determine Pb.

b) Se o total de bolas da urna é 21 e Pm é o triplo de Pa, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna ?

c) Se A = 3 , para quais valores de B o valor de Pm é estritamente maior do que 1/2 ?

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Resposta:

Para determinarmos o total de formas diferentes possíveis de se retirar simultaneamente duas bolas de um número n total de bolas qualquer, devemos fazer uma combinação de n e 2: $C^n_2$ .

Como a ordem não importa, dessa maneira excluímos os resultados similares. Sendo assim, podemos escrever $p_a$ , $p_b$ e $p_m$ como:

$p_a=frac{binom{A}{2}}{binom{A+B}{2}};::P_b=frac{binom{B}{2}}{binom{A+B}{2}};::P_m=frac{A.B}{binom{A+B}{2}}$

a) A=2; B=5

$\p_B=frac{binom{5}{2}}{binom{7}{2}}=frac{frac{5!}{2!3!}}{frac{7!}{2!5!}}=frac{5!}{2!3!}.frac{2!5!}{7!}=frac{2.5}{7.3}\\\p_B=frac{10}{21}$

b) A + B = 21

$\p_n=3p_ARightarrow frac{A.B}{binom{21}{2}}=frac{3binom{A}{2}}{binom{21}{2}}Rightarrow AB=frac{3A(A-1)(A-2)!}{2!(A-2)!}$

$A(21-A)=frac{3}{2}A(A-1)\\42-2A=3A-3\\5A=45\\A=9\\B=21-9=12$

c) A=3

$P_M=frac{3B}{binom{3+B}{2}}> frac{1}{2}Rightarrow frac{3B.2!(B-1)!)}{(B+3)(B+2)(B+1)!}> frac{1}{2}$

$\12B> B^2+2B+3B+6\\B^2-7B+6< 0\\B=frac{7pm 5}{2}\\B=6::ou::B=1$

Portanto, B pode assumir qualquer valor de S={ 2, 3, 4, 5}

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Resposta:

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