Uma partícula move ao longo de um eixo s com umaaceleração variada no tempo dada pela função α(t) = 3t2 +4t+6. Sabendo que a velocidade inicial da partícula é 20 e sua posição inicial 10 e usando integração, é correto afirmar que a função de posição da partícula é

Uma partícula move ao longo de um eixo s com uma aceleração variada no tempo dada pela função α(t) = 3t2 + 4t + 6. Sabendo que a velocidade inicial da partícula é 20 e sua posição inicial 10 e usando integração, é correto afirmar que a função de posição da partícula é

• E) s(t) = t³ + 2t² + 20t + 10

Para encontrar a função de posição, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo duas vezes. Em seguida, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Primeiramente, integramos a aceleração em relação ao tempo para encontrar a velocidade:

v(t) = ∫α(t)dt = ∫(3t² + 4t + 6)dt = t³ + 2t² + 6t + C₁

Como a velocidade inicial é 20, podemos encontrar a constante de integração C₁:

20 = v(0) = 0³ + 2(0)² + 6(0) + C₁ => C₁ = 20

Portanto, a função de velocidade é:

v(t) = t³ + 2t² + 20

Agora, integramos a função de velocidade em relação ao tempo para encontrar a função de posição:

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(t³ + 2t² + 20)dt = (1/4)t⁴ + (2/3)t³ + 10t² + 20t + C₂

Como a posição inicial é 10, podemos encontrar a constante de integração C₂:

10 = s(0) = (1/4)(0)⁴ + (2/3)(0)³ + 10(0)² + 20(0) + C₂ => C₂ = 10

Portanto, a função de posição é:

s(t) = t³ + 2t² + 20t + 10

Essa é a alternativa E) do gabarito.