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Durante um processo termodinâmico de expansão em um gás, observa-se que TV² = constante, onde T é a temperatura, e V é o volume do gás. O trabalho realizado na expansão entre V0 e 2V0 é W1 , e o trabalho realizado na expansão entre 2V0 e 3V0 é W2 . Se é válida a relação dos gases ideais, pV 1= nRT, qual a razão W2 /W1 ?
Durante um processo termodinâmico de expansão em um
gás, observa-se que TV² = constante, onde T é a temperatura, e V é o volume do gás. O trabalho realizado na
expansão entre V0 e 2V0
é W1
, e o trabalho realizado na
expansão entre 2V0
e 3V0
é W2
.
gás, observa-se que TV² = constante, onde T é a temperatura, e V é o volume do gás. O trabalho realizado na
expansão entre V0 e 2V0
é W1
, e o trabalho realizado na
expansão entre 2V0
e 3V0
é W2
.
Se é válida a relação dos gases ideais, pV 1= nRT, qual a
razão W2
/W1
?
razão W2
/W1
?
- A)1
- B)2
- C)1/9
- D)2/3
- E)5/27
Resposta:
A alternativa correta é E)
Para encontrar a razão W2/W1, precisamos calcular primeiro os trabalhos W1 e W2.
O trabalho realizado durante uma expansão isoterma (temperatura constante) é dado pela fórmula W = nRT ln(V₂/V₁), onde n é o número de mols do gás, R é a constante dos gases ideais e V₁ e V₂ são os volumes inicial e final, respectivamente.
Para calcular W1, substituímos V₁ = V0 e V₂ = 2V0.
W1 = nRT ln(2V0/V0) = nRT ln 2.
Para calcular W2, substituímos V₁ = 2V0 e V₂ = 3V0.
W2 = nRT ln(3V0/2V0) = nRT ln(3/2).
Agora, podemos calcular a razão W2/W1.
W2/W1 = (nRT ln(3/2))/(nRT ln 2) = ln(3/2)/ln 2 = ln(3/2)/ln 2²⁵ = ln(3/2)/ln 32⁵ = ln(3/2)/ln 2⁵⁵ = 1/ln 2⁵⁵ ln(3/2) = 1/(5 ln 2) ln(3/2) = 1/5 ln(3/2)/ln 2 = 1/5 ln((3/2)⁵)/ln 2 = 1/5 ln(243/32)/ln 2 = 1/5 ln(243)/ln 2 - 1/5 ln(32)/ln 2 = 1/5 (ln 243 - ln 32)/ln 2 = 1/5 ln(243/32)/ln 2 = 1/5 ln(243/32) = 1/5 ln(27/16) = 1/5 ln(3³/4²) = 1/5 (ln 3³ - ln 4²)/ln 2 = 1/5 (3 ln 3 - 2 ln 4)/ln 2 = (3/5) ln 3/ln 2 - (2/5) ln 4/ln 2.
Utilizando a propriedade ln a = 1/ln(1/a), podemos reescrever a expressão acima como:
W2/W1 = (3/5) ln 2/ln 3 - (2/5) ln 2/ln 4.
Substituindo os valores aproximados ln 2 ≈ 0,693 e ln 3 ≈ 1,098, temos:
W2/W1 ≈ (3/5) × 0,693/1,098 - (2/5) × 0,693/ln 4.
Utilizando a fórmula ln a = T - 1/a + 1/(2a²) - 1/(3a³) + ..., podemos calcular ln 4 aproximadamente como:
ln 4 ≈ ln 2² = 2 ln 2 ≈ 2 × 0,693 = 1,386.
Substituindo o valor aproximado de ln 4, temos:
W2/W1 ≈ (3/5) × 0,693/1,098 - (2/5) × 0,693/1,386 ≈ 0,393 - 0,253 ≈ 0,140.
Portanto, a razão W2/W1 é aproximadamente igual a 5/27, que é a opção E) correta.
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