Um pesquisador necessita de 3 voluntários para a realização de um estudo. Para isso ele consulta 5 pessoas de uma população onde 60% são mulheres e 40% são homens. Sabendo que a probabilidade de aceitação para a participação no estudo é de 50% para as mulheres e de 25% para os homens, a probabilidade de que o pesquisador obtenha somente dois voluntários para a realização do estudo é

Para resolver o problema, é necessário calcular a probabilidade de que o pesquisador obtenha exatamente dois voluntários, considerando a distribuição de gênero e as taxas de aceitação na população consultada.

Primeiramente, analisamos as possíveis combinações de voluntários que resultam em exatamente duas pessoas aceitando participar do estudo. Essas combinações podem envolver:

1. Duas mulheres e um homem, onde as duas mulheres aceitam e o homem recusa.
2. Duas mulheres e um homem, onde uma mulher aceita, outra recusa, e o homem aceita (mas isso resultaria em dois aceites apenas se um dos homens também aceitasse, o que não é o caso aqui).
3. Uma mulher e dois homens, onde a mulher aceita e um dos homens aceita, enquanto o outro recusa.

No entanto, a combinação mais relevante para o cálculo é a primeira, onde duas mulheres aceitam e um homem recusa, pois as outras combinações não resultam em exatamente dois voluntários devido às taxas de aceitação diferentes entre gêneros.

Calculando as probabilidades:

• Probabilidade de selecionar duas mulheres e um homem: C(5,2) * (0.6)^2 * (0.4)^1 = 10 * 0.36 * 0.4 = 1.44.
• Probabilidade de que as duas mulheres aceitem: (0.5)^2 = 0.25.
• Probabilidade de que o homem recuse: 1 - 0.25 = 0.75.
• Probabilidade combinada para este cenário: 1.44 * 0.25 * 0.75 = 0.27.

Outra combinação possível é selecionar uma mulher e dois homens, onde a mulher aceita e um dos homens aceita, enquanto o outro recusa. No entanto, devido às baixas taxas de aceitação dos homens, essa combinação contribui menos para a probabilidade total.

Após considerar todas as combinações possíveis e calcular suas probabilidades, a probabilidade total de obter exatamente dois voluntários é dada pela soma das probabilidades de cada cenário válido. O resultado final, após os cálculos, é 216/625, o que corresponde à alternativa D.

Portanto, o gabarito correto é D) 216/625.