Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

No contexto da estatística, os estimadores pontuais são ferramentas fundamentais para inferir parâmetros desconhecidos de uma distribuição com base em dados amostrais. O exercício apresentado aborda dois estimadores, θ_n e θ*_n, utilizados para estimar o parâmetro θ, onde n representa o tamanho da amostra. Entre as alternativas fornecidas, a correta é a letra A), que descreve uma propriedade essencial de um estimador consistente.

A alternativa A) afirma que lim_n→∞ P(|θ_n - θ| ≥ ε) = 0, para todo ε > 0. Essa expressão define a consistência de um estimador, indicando que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a probabilidade de o estimador diferir do parâmetro verdadeiro por mais de uma quantidade arbitrária ε tende a zero. Em outras palavras, um estimador consistente converge em probabilidade para o valor real do parâmetro à medida que a amostra cresce.

As demais alternativas apresentam conceitos relevantes, mas não correspondem à definição de consistência:

• B) Refere-se à independência entre as observações amostrais e o estimador, o que não está diretamente relacionado à consistência.
• C) Compara as variâncias dos dois estimadores, indicando eficiência relativa, mas não garante consistência.
• D) Envolve a função de verossimilhança, associada ao método de máxima verossimilhança, mas não define consistência por si só.
• E) Define não tendenciosidade (ou ausência de viés), uma propriedade distinta da consistência.

Portanto, a resposta correta é A), pois captura a essência da consistência, uma propriedade desejável em estimadores, garantindo que eles se aproximem do parâmetro verdadeiro à medida que a amostra aumenta.

O texto apresenta uma situação em que um analista selecionou uma amostra aleatória de 100 pessoas, entre 2.000 beneficiários, para verificar se o pagamento de um benefício estava de acordo com critérios definidos. A proporção populacional de benefícios corretamente pagos é representada por p.

Em seguida, é proposta uma afirmação sobre a amostragem sistemática, considerando que o cadastro dos beneficiários esteja ordenado pelo valor do benefício. A afirmação diz que, nesse caso, a amostragem sistemática definirá estratos internamente homogêneos e conglomerados internamente heterogêneos.

O gabarito indica que a afirmação está CERTO (C). Isso ocorre porque, quando os dados estão ordenados pelo valor do benefício, a amostragem sistemática tende a criar grupos (estratos) com características similares dentro de cada um, ou seja, homogêneos internamente. Por outro lado, os conglomerados, que são formados pela seleção de elementos em intervalos regulares, tendem a ser heterogêneos, pois abrangem uma variedade de valores devido à ordenação prévia.

Considerando o contexto apresentado, em que um analista selecionou uma amostra aleatória de 100 beneficiários de um total de 2.000 para verificar a conformidade dos pagamentos, é possível analisar a afirmação sobre o valor esperado da variável aleatória X.

O enunciado define p como a proporção populacional de benefícios corretamente pagos, sendo p = 0,8. A variável aleatória X representa o número de pessoas na amostra cujos benefícios estão corretamente pagos. Nesse caso, X segue uma distribuição binomial, pois cada observação na amostra é independente e tem a mesma probabilidade de sucesso (benefício pago corretamente).

O valor esperado (média) de uma distribuição binomial é dado por E(X) = n × p, onde n é o tamanho da amostra e p é a probabilidade de sucesso. Substituindo os valores:

E(X) = 100 × 0,8 = 80.

Portanto, a afirmação de que o valor esperado de X é igual a 80 está correta, conforme indicado pelo gabarito (C).

O método computacional descrito no texto refere-se a uma técnica de reamostragem conhecida como bootstrap, utilizada para estimar a distribuição amostral de uma estatística, como a mediana no caso apresentado. O objetivo é entender o comportamento da variável X (tempo necessário para atender a uma chamada de emergência) por meio de simulações repetidas.

O item em questão afirma que "O número de replicações M não depende do tamanho n da amostra original". Essa afirmação está incorreta, conforme indicado pelo gabarito (E) ERRADO. A razão para isso é que, embora o número de replicações M possa ser definido de forma arbitrária, ele está intrinsecamente relacionado à precisão da estimativa obtida pelo método de reamostragem.

Em geral, quanto maior o tamanho da amostra original (n), maior a variabilidade presente nos dados, o que pode exigir um número maior de replicações (M) para que a distribuição empírica dos tempos medianos seja estimada com precisão suficiente. Portanto, M não é completamente independente de n, pois a escolha de M deve levar em conta a complexidade da distribuição subjacente e o tamanho da amostra disponível.

Além disso, em situações práticas, recomenda-se que M seja suficientemente grande para garantir a estabilidade dos resultados, especialmente quando se trabalha com estatísticas como a mediana, que podem ser mais sensíveis a variações amostrais. Assim, a afirmação de que M não depende de n é equivocada, pois há uma relação indireta entre esses dois parâmetros no contexto do método de reamostragem descrito.

No contexto da amostragem aleatória simples em populações de tamanho finito, é importante analisar as relações entre os tamanhos mínimos das amostras para seleções com e sem reposição. O enunciado apresenta uma afirmação específica sobre essa relação, que deve ser julgada como certa ou errada.

O problema proposto estabelece que, se o tamanho mínimo da amostra para seleção com reposição (n_c) for igual a 3/2 do tamanho mínimo correspondente para seleção sem reposição (n_s), então o tamanho da população (N) seria igual ao triplo de n_c. Matematicamente, isso seria expresso como:

n_c = (3/2) * n_s ⇒ N = 3 * n_c

Para verificar a validade dessa afirmação, é necessário recorrer às fórmulas clássicas de determinação do tamanho amostral. Na amostragem com reposição, a variância do estimador da média é dada por σ²/n_c, enquanto na amostragem sem reposição, a variância incorpora o fator de correção para populações finitas, sendo expressa como (σ²/n_s) * (1 - n_s/N).

Igualando as precisões (variâncias) dos dois métodos para que sejam comparáveis, obtemos a relação conhecida:

1/n_c = (1/n_s) * (1 - n_s/N)

Substituindo a relação n_c = (3/2)*n_s nesta equação, temos:

1/((3/2)*n_s) = (1/n_s) * (1 - n_s/N)

Simplificando a equação:

2/(3n_s) = 1/n_s - n_s/(N*n_s)

2/3 = 1 - n_s/N

n_s/N = 1 - 2/3 = 1/3

Portanto, N = 3n_s

Como n_c = (3/2)*n_s, temos que n_s = (2/3)*n_c. Substituindo na expressão para N:

N = 3*(2/3)*n_c = 2n_c

Este resultado mostra que o tamanho da população seria igual ao dobro de n_c, e não ao triplo como afirmado no enunciado. Portanto, a afirmação original está incorreta.

Concluindo, o gabar

O texto apresenta uma situação em que pesquisadores desenvolveram um novo dispositivo para medir a velocidade de aeronaves e realizaram testes com uma amostra aleatória de 36 réplicas. O foco está na análise estatística, especificamente no intervalo de confiança para a média da temperatura mínima de operação.

O intervalo de confiança de 95% para a média da temperatura mínima foi dado como [47 ºC; 45 ºC], o que implica uma amplitude de 2 ºC. A questão propõe que, se o nível de confiança aumentar para 99%, a amplitude do novo intervalo será inferior a 2 ºC. No entanto, o gabarito indica que essa afirmação está incorreta (E) ERRADO.

Isso ocorre porque, ao aumentar o nível de confiança, a margem de erro também aumenta, resultando em um intervalo mais amplo. Portanto, um intervalo de confiança de 99% terá uma amplitude maior do que o intervalo original de 95%, contradizendo a afirmação de que seria inferior a 2 ºC.

A respeito da amostragem por conglomerados em estágio único, o item afirma que é possível fixar, a priori, o tamanho exato da amostra total mesmo quando os conglomerados possuem tamanhos diferentes. O gabarito indica que essa afirmação está ERRADA (E).

Na amostragem por conglomerados em estágio único, a seleção é feita diretamente sobre os conglomerados, sem subamostragem dentro deles. Se os conglomerados têm tamanhos variados, o tamanho final da amostra total dependerá de quais conglomerados forem selecionados. Portanto, não é possível determinar com exatidão o tamanho da amostra antes da seleção, a menos que todos os conglomerados tenham o mesmo tamanho ou que se utilize técnicas complementares para controle do tamanho amostral.

Assim, a afirmação apresentada no item está incorreta, pois a variabilidade no tamanho dos conglomerados impede a fixação prévia do tamanho exato da amostra total nesse tipo de amostragem.

O texto apresenta um problema de amostragem estratificada com alocação proporcional, onde uma população de 100 indivíduos é dividida em três estratos: o estrato 1 com 50 indivíduos, o estrato 2 com 30 e o estrato 3 com 20. O item afirma que, se 9 indivíduos forem amostrados do estrato 2, a amostra total seria de 27 indivíduos.

Para verificar a afirmação, é necessário calcular a proporção da amostra em relação ao estrato 2. Como o estrato 2 representa 30% da população (30/100), uma amostra proporcional desse estrato corresponderia a 30% do tamanho total da amostra. Se 9 indivíduos representam 30% da amostra, então o tamanho total da amostra (N) pode ser calculado da seguinte forma:

9 = 0,3 × N → N = 9 / 0,3 → N = 30.

Portanto, a amostra total seria de 30 indivíduos, e não 27 como afirmado no item. Dessa forma, o gabarito correto é E) ERRADO.

No contexto da amostragem aleatória simples, onde todas as unidades amostrais têm a mesma probabilidade de seleção, o número de amostras possíveis de tamanho n em uma população de tamanho N é determinado pela combinação de N elementos tomados n a n. A fórmula para calcular esse valor é:

C(N, n) = N! / (n! * (N - n)!)

No caso apresentado, com N = 15 e n = 2, o cálculo seria:

C(15, 2) = 15! / (2! * (15 - 2)!) = (15 × 14) / (2 × 1) = 105

Portanto, o número de amostras possíveis é 105, e não 210, como afirmado no item. Dessa forma, a afirmação está incorreta.

Resposta: E) ERRADO

No contexto da amostragem aleatória simples, onde todas as unidades amostrais têm a mesma probabilidade de seleção, o fator de correção para populações finitas é um elemento essencial no cálculo do tamanho da amostra. Esse fator é dado pela expressão:

f = (N - n) / (N - 1)

Considerando que N representa o tamanho da população e n o tamanho da amostra, com N > n, é possível demonstrar que o fator de correção será sempre inferior a 1. Isso ocorre porque o numerador (N - n) é necessariamente menor que o denominador (N - 1), já que n ≥ 1.

Portanto, a afirmação de que o fator de correção para populações finitas é sempre inferior a 1 está correta, conforme indicado pela alternativa C) CERTO.