Em uma pesquisa realizada numa grande região, apurou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O tamanho da amostra desta pesquisa foi de 1.600 e considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes da região a favor desta implantação. O intervalo de confiança de 95,5% encontrado para a proporção foi igual a [88,5% ; 91,5%]. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 2.500 e apurando-se a mesma proporção anterior, tem-se que a amplitude do intervalo de 95,5% seria de
Em uma pesquisa realizada numa grande região, apurou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O tamanho da amostra desta pesquisa foi de 1.600 e considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes da região a favor desta implantação. O intervalo de confiança de 95,5% encontrado para a proporção foi igual a [88,5% ; 91,5%]. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 2.500 e apurando-se a mesma proporção anterior, tem-se que a amplitude do intervalo de 95,5% seria de
- A)1,2%
- B)2,4%
- C)3,6%
- D)4,8%
- E)6,4%
Resposta:
A alternativa correta é B)
Em uma pesquisa realizada em uma grande região, verificou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O estudo utilizou uma amostra de 1.600 indivíduos, considerando a distribuição amostral da frequência relativa como normal. Com um intervalo de confiança de 95,5%, a proporção estimada foi de [88,5% ; 91,5%].
O objetivo agora é calcular a amplitude do intervalo de confiança para a mesma proporção (90%), porém com um tamanho de amostra maior, de 2.500 pessoas, mantendo o mesmo nível de confiança (95,5%).
Para resolver esse problema, é necessário entender que a amplitude do intervalo de confiança para uma proporção é determinada pela fórmula:
Amplitude = 2 * z * √(p*(1-p)/n)
Onde:
- z é o valor crítico associado ao nível de confiança (para 95,5%, z ≈ 2).
- p é a proporção amostral (90% ou 0,9).
- n é o tamanho da amostra (2.500).
Substituindo os valores na fórmula:
Amplitude = 2 * 2 * √(0,9 * 0,1 / 2500)
Amplitude = 4 * √(0,09 / 2500)
Amplitude = 4 * √(0,000036)
Amplitude = 4 * 0,006
Amplitude = 0,024 ou 2,4%
Portanto, a amplitude do intervalo de confiança de 95,5% para uma amostra de 2.500 pessoas seria de 2,4%, correspondente à alternativa B).
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