Se, em determinada fábrica, 10% das peças produzidas sãodefeituosas, então, para fins de controle de qualidade, umadistribuição binomial negativa deve ser usada na situação em que se deseje, em uma amostra aleatória simples com reposição, obter a probabilidade de a terceira peça defeituosa ocorrer na décima retirada.

O uso da distribuição binomial negativa é apropriado para calcular a probabilidade de um determinado número de falhas ocorrer antes de um número específico de sucessos. No contexto apresentado, a fábrica produz peças com uma taxa de defeitos de 10%, o que caracteriza uma probabilidade de sucesso (peça defeituosa) como p = 0,10 e de fracasso (peça não defeituosa) como q = 0,90.

A situação descrita busca a probabilidade de a terceira peça defeituosa ocorrer exatamente na décima retirada. Isso se encaixa perfeitamente na definição da binomial negativa, que modela o número de tentativas necessárias para obter k sucessos em uma sequência de ensaios independentes. Aqui, k = 3 (peças defeituosas) e o décimo ensaio corresponde à ocorrência do terceiro sucesso.

A fórmula da binomial negativa é dada por:

P(X = x) = C(x-1, k-1) * p^k * q^(x-k)

Onde x é o número total de tentativas (10), k é o número de sucessos desejados (3), e C(x-1, k-1) representa a combinação dos eventos anteriores ao último sucesso.

Portanto, a afirmação está correta (C), pois a distribuição binomial negativa é a ferramenta estatística adequada para resolver esse problema, calculando a probabilidade de a terceira peça defeituosa aparecer precisamente na décima retirada.