Considere uma amostra aleatória simples X1, X2, …, Xn de uma densidade parametrizada por ? e sejam S1, S2, … , Sk estatísticas conjuntamente suficientes. Considere uma estatística T não viesada para ? e defina T’ = E [T| S1 , S2 , …, SkAvalie, então, as seguintes afirmativas: I. T´ é uma estatística e é função de S1, S2,… , Sk. II. T´ é um estimador não-viesado de ?. III. A variância de T´ é menor ou igual à variância de T para todo ?. Assinale:
Considere uma amostra aleatória simples X1, X2, …, Xn de uma densidade parametrizada por ? e sejam S1, S2, … , Sk estatísticas conjuntamente suficientes. Considere uma estatística T não viesada para ? e defina
T’ = E [T| S1 , S2 , …, Sk
Avalie, então, as seguintes afirmativas:
I. T´ é uma estatística e é função de S1, S2,… , Sk.
II. T´ é um estimador não-viesado de ?.
III. A variância de T´ é menor ou igual à variância de T para todo ?.
Assinale:
- A)se somente a afirmativa II estiver correta.
- B)se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
- C)se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
- D)se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
- E)se todas as afirmativas estiverem corretas.
Resposta:
A alternativa correta é E)
O problema apresentado envolve conceitos fundamentais de estatística, particularmente no que diz respeito a estimadores não viesados e estatísticas suficientes. Vamos analisar cada uma das afirmativas para entender por que todas estão corretas.
Afirmativa I: "T´ é uma estatística e é função de S1, S2,... , Sk."
Esta afirmativa está correta, pois T' é definido como a esperança condicional de T dado as estatísticas suficientes S1, S2, ..., Sk. Como a esperança condicional é uma função das estatísticas condicionantes, T' é de fato uma estatística que depende apenas de S1, S2, ..., Sk.
Afirmativa II: "T´ é um estimador não-viesado de θ."
Esta afirmativa também está correta. Pela propriedade da esperança iterada, temos que E[T'] = E[E[T | S1, S2, ..., Sk]] = E[T]. Como T é não viesado para θ, segue que E[T'] = θ, mostrando que T' também é não viesado para θ.
Afirmativa III: "A variância de T´ é menor ou igual à variância de T para todo θ."
Esta afirmativa está correta devido ao teorema de Rao-Blackwell, que estabelece que a variância de um estimador condicionado a uma estatística suficiente é sempre menor ou igual à variância do estimador original. Como S1, S2, ..., Sk são estatísticas suficientes, a variância de T' será menor ou igual à variância de T para todo valor de θ.
Portanto, todas as afirmativas I, II e III estão corretas, tornando a alternativa E a resposta correta.
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