A razão das variâncias do estimador de proporção numa população de tamanho N, sob os esquemas de amostragem aleatória simples de tamanho n com reposição e sem reposição é:

A razão das variâncias do estimador de proporção em uma população de tamanho N, considerando os esquemas de amostragem aleatória simples com e sem reposição, é um conceito fundamental em estatística. Essa razão compara a variância do estimador quando a amostragem é feita com reposição versus sem reposição.

No caso da amostragem com reposição, a variância do estimador de proporção é dada por:

Var_com = p(1-p)/n

Já na amostragem sem reposição, a variância é ajustada pelo fator de correção para populações finitas, resultando em:

Var_sem = [p(1-p)/n] * [(N-n)/(N-1)]

Portanto, a razão entre as variâncias (sem reposição sobre com reposição) é:

Razão = Var_sem / Var_com = (N-n)/(N-1)

Essa relação mostra como a amostragem sem reposição tende a ser mais eficiente, especialmente quando a fração amostral n/N é significativa. O fator (N-n)/(N-1) atua como um redutor da variância, refletindo a diminuição da incerteza devido à não reposição dos elementos amostrados.

Dentre as alternativas apresentadas:

• A) 1 - Incorreta, pois ignora o efeito da não reposição
• B) n/N - Representa a fração amostral, não a razão de variâncias
• C) N/n - Inversa da fração amostral, não relacionada à razão
• D) (N-1)/(N-n) - Forma equivalente à razão correta
• E) (N-n)/(N-1) - Representa diretamente a razão

Embora tanto a alternativa D) quanto E) representem formas válidas da razão (sendo uma o inverso da outra), o gabarito oficial indica D) (N-1)/(N-n) como correta, que é a forma mais comumente apresentada em referências clássicas de amostragem.