Acerca de inferência estatística, julgue os itens de 25 a 35.Com relação a uma amostra aleatória simples X1,X2,…Xn  retirada de uma distribuição exponencial com média λ–1, a estatística T(x) = ∑X1 será suficiente para a estimação de λ–1

Acerca de inferência estatística, o item em questão aborda a suficiência de uma estatística para a estimação do parâmetro λ^–1 em uma distribuição exponencial. A análise correta do problema leva à conclusão de que a estatística T(x) = ∑X₁ é, de fato, suficiente para estimar λ^–1.

Para compreender essa afirmação, é fundamental recorrer ao critério da fatoração de Fisher-Neyman, que estabelece as condições para que uma estatística seja considerada suficiente. Segundo esse critério, uma estatística T(X) é suficiente para um parâmetro θ se a função de verossimilhança da amostra puder ser fatorada em duas partes: uma que depende apenas dos dados através de T(X) e outra que depende apenas dos dados, mas não de θ.

No caso da distribuição exponencial com média λ^–1, a função de densidade de probabilidade é dada por:

f(x|λ) = λe^–λx, para x ≥ 0.

A função de verossimilhança para uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n é:

L(λ|x) = ∏_i=1ⁿ λe^–λx_i = λⁿ e^–λ∑x_i.

Observa-se que essa verossimilhança pode ser expressa como:

L(λ|x) = λⁿ e^–λT(x),

onde T(x) = ∑x_i. Pelo critério da fatoração, como a verossimilhança depende dos dados apenas através de T(x), conclui-se que T(x) é uma estatística suficiente para λ. Além disso, como λ e λ^–1 estão diretamente relacionados, a suficiência se estende à estimação de λ^–1.

Portanto, o item está CERTO (C), conforme indicado no gabarito.