(ENEM – 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o mair tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

A alternativa correta é letra E)

São: 40 tábuas de 540 cm, cada; 30 tábuas de 810 cm, cada; e 10 tábuas de 1080 cm, cada;

Cada tábua será cortada para que fiquem com comprimento x cm, sendo x um número que devemos determinar. Para isto precisamos saber quem é o máximo divisor comum. Por quê? Nós precisamos dividir as tábuas de 540 cm em uma certa quantidade inteira de tábuas menores com comprimento x, tal que um número inteiro vezes x dê o comprimento da tábua, que é 540 cm. A mesma coisa deve ser feita para tábuas com 810 cm e 1080 cm cada. Como as tábuas devem ter o maior tamanho possível, então x é obtido a partir do cálculo do MDC de 540, 810 e 1080.

Então:

MDC(540, 810, 1080):

540 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 5

810 = 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5

1080 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 5

Os números em negrito, multiplicados entre si, formam nosso MDC, então MDC(540, 810, 1080) = 2 . 3 . 3 . 3 . 5 = 270. Cada pedaço de tábua deveria ter 270 cm, portanto. Mas lembre-se que o enunciado nos fala que as tábuas novas precisam ter menor que 2 m de comprimento, ou seja, menos que 200 cm de comprimento. Logo, os pedaços de 270 cm não são válidos. Se dividirmos 270 por 2 obtemos 135 cm para cada tábua, comprimento que se encaixa nas especificações do arquiteto.

As tábuas de 540 cm serão divididas em quatro, cada pedaço de 135 cm. Como temos 40 tábuas com este comprimento, ficaremos com 160 menores tábuas com 135 cm.

As tábuas de 810 cm serão divididas em seis, cada pedaço de 135 cm. Como temos 30 tábuas com este comprimento, ficaremos com 180 menores tábuas com 135 cm.

As tábuas de 1080 cm serão divididas em oito, cada pedaço de 135 cm. Como temos 10 tábuas com este comprimento, ficaremos com 80 menores tábuas com 135 cm.

Somando o total de novas tábuas obtemos o valor 160 + 180 + 80 = 420 novas peças.

A alternativa correta é, portanto, a Letra E.