Questões Sobre o Descritor D02 - Matemática - 3º ano do ensino médio
D2: Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.
1) A figura mostra como um desenhista procede para observar o vaso que quer desenhar.
De acordo com a figura qual é a altura do vaso?
- A) 30 cm.
- B) 40 cm.
- C) 60 cm.
- D) 50 cm.
- E) 70 cm.
A resposta correta é a letra C)
Utilizando semelhança de triângulos:
[tex] \frac{90}{30} = \frac{h}{20} [tex]
[tex] 30h = 90 \cdot 20 [tex]
[tex] x = \frac{90 \cdot 20}{30} [tex]
[tex] x = 3 \cdot 20 [tex]
[tex] x = 60\ metros [tex]
Logo, opção C.
2) Observe o desenho da televisão abaixo.
A medida da diagonal dessa televisão, em centímetros, é aproximadamente
- A) 36
- B) 72
- C) 105
- D) 144
- E) 4 860
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular a diagonal ("hipotenusa"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] d^{2} = 54^{2} + 90^{2} [tex]
[tex] d^{2} = 2\ 916 + 8\ 100 [tex]
[tex] d = \sqrt{11\ 016} [tex]
[tex] d \cong 104,95\ cm [tex]
Logo, opção C.
3) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m.
A altura do poste é:
- A) 12 m
- B) 20 m
- C) 72 m
- D) 7,2 m
- E) 10 m.
A resposta correta é a letra B)
Utilizando semelhança de triângulos:
[tex] \frac{x}{1} = \frac{12}{0,6} [tex]
[tex] 0,6x = 12 [tex]
[tex] x = \frac{12}{0,6} [tex]
[tex] x = 20\ metros [tex]
Logo, opção B.
4) Se a diagonal de um quadrado mede [tex] 60\sqrt{2}\ m[tex], quanto mede o lado deste quadrado.
- A) 50 m
- B) 60 m
- C) 75 cm
- D) 90 m
- E) 100 m
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular o lado do quadrado ("cateto"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (60\sqrt{2})^{2} = L^{2} + L^{2} [tex]
[tex] 3\ 600 \cdot 2 = 2L^{2} [tex]
[tex] \frac{7\ 200}{2} = L^{2} [tex]
[tex] 3\ 600 = L^{2} [tex]
[tex] \sqrt{3\ 600} = L [tex]
[tex] L = 60\ metros [tex]
Logo, opção B.
5) Pela figura abaixo, é possível perceber que as alturas do edifício e do hidrante são, respectivamente, de 30 metros e 1,5 metro.
Se a sombra do hidrante mede 50 centímetros, quanto mede a distância do prédio ao hidrante em metros?
- A) 5,5
- B) 7,0
- C) 8,5
- D) 9,0
- E) 9,5
A resposta correta é a letra E)
Utilizando semelhança de triângulos:
[tex] \frac{30}{1,5} = \frac{x + 0,5}{0,5} [tex]
[tex] 1,5(x + 0,5) = 30 \cdot 0,5 [tex]
[tex] 1,5x + 0,75 = 15 [tex]
[tex] 1,5x = 15 - 0,75 [tex]
[tex] x = \frac{14,25}{1,5} [tex]
[tex] H = 9,5\ metros [tex]
Logo, opção E.
6) Uma empresa quer acondicionar seus produtos, quem tem o formato de uma pirâmide de base quadrada, em caixa de papelão para exportação.
A altura da caixa de papelão deve ter a altura mínima de:
- A) 120 cm.
- B) 44 cm.
- C) 22 cm.
- D) 8 cm.
- E) 6 cm.
A resposta correta é a letra D)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular a altura H ("cateto"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] 10^{2} = H^{2} + 6^{2} [tex]
[tex] 100 = H^{2} + 36 [tex]
[tex] 100 - 36 = H^{2} [tex]
[tex] \sqrt{64} = H [tex]
[tex] H = 8\ metros [tex]
Logo, opção D.
7) Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções ortogonais. Uma pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra, 5 metros para o leste.
Qual a distância que separa essas duas pessoas?
- A) 7 m
- B) 13 m
- C) 17 m
- D) 60 m
- E) 119 m
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular o comprimento x (distância que separa as duas pessoas - "hipotenusa"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 12^{2} + 5^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 144 + 25 [tex]
[tex] x = \sqrt{169} [tex]
[tex] x = 13\ metros [tex]
Logo, opção B.
8) Em um jogo de futebol, a equipe médica que estava localizada no ponto P, em uma das laterais do campo, foi solicitada a prestar atendimento a um dos atletas que se encontrava localizado no ponto Q, em uma das marcas de escanteio do campo. No desenho abaixo, está representado o campo, com formato retangular, e a trajetória retilínea realizada pela equipe médica até o atleta.
Qual foi a distância aproximada percorrida pela equipe médica para atender esse atleta?
(Considere: [tex]\sqrt{5} \cong 2,2; \sqrt{7} \cong 2,6; \sqrt{13} \cong3,6[tex]).
- A) 66 m
- B) 78 m
- C) 108 m
- D) 150 m
- E) 200 m
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular o comprimento x (trajeto da equipe médica - "hipotenusa"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] x^{2} = (60)^{2} + (90)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 3\ 600 + 8\ 100 [tex]
[tex] x = \sqrt{11\ 700} [tex]
[tex] x = \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13} [tex]
[tex] x = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{13} [tex]
[tex] x = 30 \cdot 3,6 [tex]
[tex] x \cong 108\ metros [tex]
Logo, opção C.
9) Getúlio cercará um terreno triangular que será utilizado no plantio de algodão. Esse terreno já possui cerca em dois de seus lados, sendo necessário cercar apenas o terceiro lado, conforme representado na figura abaixo.
Qual é a medida do comprimento do lado desse terreno que deverá ser cercado?
- A) [tex] 200\ m [tex]
- B) [tex] 600\ m [tex]
- C) [tex] 800\ m [tex]
- D) [tex] 400\sqrt{5}\ m [tex]
- E) [tex] 200\sqrt{41}\ m [tex]
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular o comprimento x (lado a ser cercado - "cateto"):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (1\ 000)^{2} = x^{2} + (800)^{2} [tex]
[tex] 1\ 000\ 000 = x^{2} + 640\ 000 [tex]
[tex] 1\ 000\ 000 - 640\ 000 = x^{2} [tex]
[tex] x = \sqrt{360\ 000} [tex]
[tex] x = 600\ metros [tex]
Logo, opção B.
10) No processo de decolagem, um avião saiu do chão sob um determinado ângulo e se manteve em linha reta até atingir a cabeceira da pista, conforme o desenho abaixo.
De acordo com esse desenho, quantos metros esse avião percorreu do momento em que saiu do chão até o momento em que atingiu a cabeceira da pista de decolagem?
- A) 200 metros.
- B) 280 metros.
- C) 9 600 metros.
- D) 19 200 metros.
- E) 40 000 metros.
A resposta correta é a letra A)
Aplicando o teorema de pitágoras, para calcular o comprimento x (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] x^{2} = (120)^{2} + (160)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 14\ 400 + 25\ 600 [tex]
[tex] x = \sqrt{40\ 000} [tex]
[tex] x = 200\ m [tex]
Logo, opção A.